O Navierovom–Stokesovom probléme tisícročia

Zverejňujeme riešenie problému existencie a hladkosti Navierových–Stokesových rovníc, jedného z problémov tisícročia. Tento dôkaz, ktorý vytvoril interný systém OpenAI, ukazuje, že v dynamike Navierových–Stokesových rovníc opisujúcich pohyb tekutín môže v konečnom čase vzniknúť singularita. Zverejňujeme opis dôkazu aj jeho formalizáciu v systéme Lean.

Problémy tisícročia⁠(otvorí sa v novom okne) patria k najhlbším otázkam prelomovej matematiky. Otázka, či môže dôjsť k narušeniu hladkého trojrozmerného pohybu tekutiny, zostáva nevyriešená približne 90 rokov.

Jedným z hlavných cieľov našej práce je umožniť vedcom napredovať vo výskume a vývoji technológií prospešných pre celé ľudstvo. Na vyriešenie Navierovho–Stokesovho problému sme použili interný model, ktorý je výrazne schopnejší než GPT‑6 Astra. Považujeme za dôležité informovať svet o tempe pokroku v oblasti AI a o tom, čo možno očakávať od pripravovaných modelov.

Navierove–Stokesove rovnice využívajú druhý Newtonov pohybový zákon („F = ma“) na opis pohybu tekutín. Dôležité je, že tekutinu považujú za spojité prostredie, namiesto toho, aby sledovali jednotlivé molekuly. Tieto rovnice sa používajú pri navrhovaní lietadiel, predpovedaní počasia a skúmaní prúdenia krvi.

Základnou otvorenou otázkou týchto dynamických rovníc je, či môže aproximácia tekutiny ako spojitého prostredia zlyhať. Konkrétne: môže v Navierových–Stokesových rovniciach pre trojrozmernú nestlačiteľnú tekutinu s konštantnou hustotou vzniknúť „singularita“, aj keď je pohyb spočiatku hladký? Singularita tu znamená, že dynamika vedie k neobmedzenému rastu rýchlosti tekutiny v konečnom čase. Singularita by musela vzniknúť napriek viskozite, ktorá má tendenciu pohyb vyhladzovať. Keďže skutočná tekutina sa nemôže pohybovať nekonečne rýchlo, znamenalo by to zlyhanie spôsobu, akým rovnice tekutinu modelujú. Na ďalšie modelovanie systému by potom bolo potrebné sledovať správanie každej častice osobitne.

Rovnice pochádzajú z prác Claudea-Louisa Naviera a Georgea Gabriela Stokesa z 19. storočia. Jean Leray v roku 1934 dokázal, že riešenia existujú v zovšeobecnenom zmysle, no otázka, či vždy zostávajú hladké, sa stala jedným z hlavných nevyriešených problémov. Clayov matematický inštitút v roku 2000 zaradil problém existencie a hladkosti Navierových–Stokesových rovníc medzi sedem problémov tisícročia.

Náš systém vytvoril analytický dôkaz a formalizáciu v systéme Lean, podľa ktorých môže v pôvodne hladkej tekutine v pokoji vzniknúť singularita v konečnom čase. Na tekutinu pôsobí hladká sila a jej energia zostáva konečná počas celej dynamiky, od pokoja až po vznik singularity. Týmto sa rieši Navierov–Stokesov problém tisícročia potvrdením tvrdenia „C“ (a tiež „D“) v oficiálnom znení problému tisícročia⁠(otvorí sa v novom okne).

Riešením je vír, teda rotujúci prúd tekutiny, ktorý špirálovito smeruje dovnútra a čoraz viac sa naťahuje ako špageta. Táto centrálna oblasť sa zmenšuje a zároveň zrýchľuje tak, že jej energia zostáva konečná, ako to vyžadujú fyzikálne zákony. Technická výzva spočíva v tom, aby sa rozklad rovníc odvíjal od pohybu samotnej tekutiny, a nie napríklad z toho, že by sme ručne pôsobili nekonečnou silou. Presnejšie matematicky: členy Navierových–Stokesových rovníc opisujúce pohyb – zrýchlenie, gradienty tlaku, prenos hybnosti a viskozitu – musia byť veľké, no zároveň sa musia presným spôsobom vyrušiť. Vďaka tejto presnej rovnováhe zostáva vonkajšia sila hladká, aj keď rýchlosť tekutiny rastie bez obmedzenia.

Od 28. augusta trénujeme nový interný model, ktorý v našich testoch vrátane matematiky dosahuje bezprecedentné výsledky. Trénovanie tohto modelu pokračuje a jeho výkon sa ďalej zlepšuje.

V utorok 1. septembra sme sa dopočuli, že boli vyriešené dva problémy tisícročia. Tieto správy a skokové zlepšenie výkonu nášho interného modelu nás podnietili, aby sme ho začali hodnotiť na všetkých otvorených problémoch tisícročia a niekoľkých ďalších významných problémoch.

Použili sme systém koordinovaných agentov využívajúcich náš interný model. Agenti mali prístup k nástrojom, ako je čítanie údajov z vyrovnávacej pamäte internetu a spúšťanie kódu. Agenti boli rozdelení do skupín a mohli v rámci skupiny komunikovať. Skupiny mali rôznu veľkosť; v skupine, ktorá vyriešila Navierov–Stokesov problém, pracovalo súbežne približne 10 000 agentov. Po celý čas sme zachovávali rovnaké prísne bezpečnostné opatrenia, aké uplatňujeme pri všetkých hodnoteniach našich prelomových modelov, vrátane monitorovania a izolácie.

Pri každom probléme sme rôznym skupinám agentov zadali rôzne verzie jeho znenia, aby sme pokryli všetky varianty problému. V prípade Navierovho–Stokesovho problému sme osobitným skupinám agentov zadali verzie „A“ a „B“ (konkrétne podoby problému, ktoré by viedli k dôkazu) a verzie „C“ a „D“ (ktoré by viedli k vyvráteniu).

Okrem úplných problémov tisícročia sme náš multiagentový systém požiadali, aby sa pokúsil vyriešiť množinu „jednoduchších“ problémov. Jedným z nich bola podobná otázka vzniku singularity v limitnom prípade Navierovho–Stokesovho problému po odstránení člena viskozity. Táto otázka je známa ako problém regularity Eulerových rovníc a naši agenti nás prekvapili tým, že ju vyriešili. Vyriešili konkrétny variant bez vonkajšieho pôsobenia, pri ktorom na tekutinu nepôsobí žiadna vonkajšia sila. Takmer 100 agentov spolupracovalo približne 50 hodín, aby vytvorili naše vyvrátenie regularity Eulerových rovníc¹.

Keď sme uvideli riešenie Eulerovho problému, usúdili sme, že najsľubnejšie bude pracovať na Navierovom–Stokesovom probléme. Preto sme sa rozhodli venovať svoje zdroje Navierovmu–Stokesovmu problému. Presunuli sme teda agentov z ostatných problémov tisícročia a poskytli im riešenie Eulerovho problému. Keď bola počas práce k dispozícii ďalej trénovaná verzia nášho interného modelu, prešli sme pri agentoch na tento model.

Jednotlivé skupiny agentov sme podnecovali, aby skúmali rozmanité prístupy. Po čase sme prepojili poznatky skupín agentov: pomocou Codexu sme zhrnuli najužitočnejšie zistenia každej skupiny. Tieto následné zadania vychádzali z priebežných výsledkov samotných agentov. Takýmto spôsobom bola usmerňovaná aj skupina, ktorá našla riešenie Navierovho–Stokesovho problému.

Agenti dospeli k riešeniu v sobotu 5. septembra, približne 88 hodín po spustení prvých agentov. Formalizácia a overenie v systéme Lean pomocou GPT‑6 Astra zabrali ďalších 17 hodín.

Pri všetkých skúmaných problémoch agenti odoslali 4,9 milióna správ a použili približne 300 miliárd výstupných tokenov. Pri riešení Navierovho–Stokesovho problému agenti odoslali 2,7 milióna správ a použili približne 130 miliárd výstupných tokenov.

Naše úsilie sa začalo 1. septembra po tom, ako sme sa dopočuli správu, o ktorej sme neskôr zistili, že súvisela s Leventom Alpögem, zamestnancom spoločnosti Anthropic, a Tristanom Buckmasterom, profesorom matematiky na NYU.² Po dokončení celého projektu a overení v systéme Lean (6. septembra) sme sa domnievali, že podľa tejto správy majú aj oni riešenie Navierovho–Stokesovho problému. Kontaktovali sme ich preto s ponukou súbežne zverejniť náš výsledok a v spoločnom oznámení uznať ich prvenstvo. Vtedy sme zistili, že pomocou interného modelu spoločnosti Anthropic vyriešili Eulerov problém s vonkajším pôsobením. Počas týchto rozhovorov sme im ponúkli prístup ku všetkým zadaniam, ktoré sme použili, a neskôr aj možnosť prezrieť si dôkaz. Uznávame prvenstvo ich práce na Eulerovom probléme s vonkajším pôsobením a blahoželáme im k pozoruhodnému matematickému úspechu.

My (výskumníci ani agenti) sme sa žiadnym spôsobom nedostali k ich práci, kým ju verejne nezverejnili – najmä sme na vyriešenie tohto problému nepoužili žiadne konkrétne údaje používateľov.

Po prešetrení sme potvrdili, že Buckmasterove príkazy pre Codex z dvoch mesiacov pred týmto oznámením a článkom z 8. septembra 2026 nemohli systém nijako ovplyvniť, a to ani prostredníctvom trénovania. Interný model OpenAI použitý na dosiahnutie tohto výsledku bol vyvinutý rozsiahlym učením posilňovaním na základe predtým predtrénovaného modelu. Naše dôkazy sa tiež výrazne líšia. V prípade Eulerovho problému Alpöge a Buckmaster dokázali výsledok s vonkajším pôsobením, zatiaľ čo systém OpenAI dokázal výsledok bez vonkajšieho pôsobenia.

Zverejnením tohto výsledku chceme informovať o významnom pokroku našich AI modelov. Za tento výsledok si nemienime odmenu za vyriešenie problému tisícročia.

Tento míľnik je výsledkom rozsiahlej práce matematikov a výskumníkov zameriavajúcich sa na AI. Nie je to však zavŕšenie vývoja, ale skôr momentka zachytávajúca pokrok vo vývoji AI v určitom okamihu.

Sme presvedčení, že sme vstúpili do ďalšieho obdobia pokroku AI⁠, a dnešné výsledky to ďalej potvrdzujú. Sústreďujeme sa na pochopenie tohto modelu a získané poznatky využívame na usmerňovanie a určovanie tempa ďalšieho rozvoja jeho schopností. Jedným z našich hlavných cieľov⁠ je vytvárať AI systémy, ktoré sa dajú usmerňovať, podliehajú zodpovednosti a sú prepojené s ľuďmi. Keďže pokračujeme v našom poslaní zabezpečiť, aby AGI prinášala úžitok celému ľudstvu, môže si to vyžadovať uváženejšie rozhodovanie o tempe pokroku.