Десять достижений в математике и теоретической информатике

Мы хотим предоставить учёным и математикам инструменты, ускоряющие открытия. Поэтому недавно мы объявили об инициативе ChatGPT для Академических исследователей⁠, которая предоставит 100 000 учёных и математиков бесплатный доступ к нашим лучшим моделям ChatGPT. Кроме того, в ходе разработки мы продолжаем проверять наши модели на открытых исследовательских задачах.

В мае мы опубликовали полученное ИИ опровержение⁠ гипотезы Эрдёша о единичных расстояниях, обнаруженное при оценке ещё не выпущенной модели. Эта работа уже дала импульс дальнейшим исследованиям в математике и теоретической информатике¹. Сегодня мы представляем десять результатов, каждый из которых решает давнюю открытую задачу или обеспечивает существенный прогресс в её решении. Эти задачи охватывают геометрию высоких размерностей, теорию кодирования, сложность арифметических схем, теорию групп, операторные алгебры, квантовую теорию сложности, решёточную криптографию и экстремальную комбинаторику. Все эти задачи представляют значительный интерес для соответствующих математических сообществ, а некоторые важны и для математики в целом.

Мы получили новые результаты по следующим задачам. Эти результаты были получены внутренней версией Astra — нашей следующей крупной модели. По тарифам Sol API общее число токенов, потребовавшихся для поиска решений этих задач, обошлось бы примерно в 2000 долларов. Затем люди с помощью той же модели оформили эти доказательства в виде рукописей. После этого модель формализовала каждое доказательство в виде сертификата Lean⁠(открывается в новом окне). Для каждого решения мы также публикуем подготовленное моделью изложение хода её рассуждений.

1. Упаковка сфер в пространствах высокой размерности. Новые верхние границы плотности упаковки сфер, достигающие порога Кона — Элкиса.
2. Двоичные и сферические коды. Экспоненциально улучшенные границы максимального размера двоичных кодов при любом заданном минимальном расстоянии, а также аналогичные результаты для сферических кодов высокой размерности.
3. Несофические группы. Конструкция, доказывающая существование несофических групп и тем самым решающая одну из центральных открытых задач теории групп.
4. Гипотеза Конна о жёсткости. Опровержение давней гипотезы о том, что некоторые группы однозначно определяются своими алгебрами фон Неймана.
5. Сложность арифметических схем. Новые нижние границы сложности вычисления перманента с помощью арифметических схем и формул, включая нижнюю границу порядка n⁴/log n для арифметических формул.
6. Квантовое параллельное повторение. Теорема об экспоненциальном параллельном повторении для произвольных квантовых игр двух участников, распространяющая фундаментальный принцип классической теории сложности.
7. Задача о ближайшем векторе. Доказательство сложности аппроксимации задачи о ближайшем векторе с точностью до полиномиального множителя — фундаментальной задачи о решётках, связанной с постквантовой криптографией.
8. Гипотеза Эрхарта об объёме. Определение для каждой размерности максимально возможного объёма выпуклого тела, единственной внутренней точкой решётки которого является его центроид.
9. Многоцветные числа Рамсея. Сверхэкспоненциальная нижняя граница многоцветных чисел Рамсея для треугольников, решающая задачу Эрдёша 183.
10. Гипотезы об экстремальных числах. Результаты по гипотезам о компактности и вырожденности в экстремальной теории графов, решающие задачи Эрдёша 146 и 180.

Появление систем, способных вносить вклад в математические исследования, порождает вопросы, на которые технологическая компания не может ответить в одиночку. Существуют разные взгляды на роль ИИ в математике. Мы глубоко уважаем и понимаем тех, кого беспокоит его влияние, включая подписавших Лейденскую декларацию об ИИ и математике⁠(открывается в новом окне). Мы считаем, что сведения об авторстве должны честно отражать способ получения результата: приписывать человеку доказательство, полностью созданное системой ИИ, означало бы искажать как вклад системы, так и природу подлинного интеллектуального труда человека. Мы помогли подготовить рукописи и формализовать доказательства в Lean и несём ответственность за их корректность, однако сами математические рассуждения были созданы нашей системой. Мы надеемся, что математическое сообщество глубоко изучит эти результаты, рассмотрит их в соответствующем контексте и разовьёт лежащие в их основе идеи в новых исследованиях и открытиях.

По мере того как системы ИИ становятся всё более совершенными партнёрами в исследованиях, широкий доступ к ним приобретает ключевое значение: он помогает учёным и математикам ориентироваться в будущем своих дисциплин и формировать его в эту эпоху преобразований.