О задаче тысячелетия Навье — Стокса

Мы публикуем решение задачи о существовании и гладкости решений уравнений Навье — Стокса — одной из задач тысячелетия. Это доказательство, полученное внутренней системой OpenAI, показывает, что в динамике движения жидкости, описываемой уравнениями Навье — Стокса, за конечное время может возникнуть сингулярность. Мы публикуем изложение доказательства и его формализацию на Lean.

Задачи тысячелетия⁠(открывается в новом окне) относятся к числу глубочайших вопросов передовой математики. Вопрос о том, может ли гладкое трёхмерное движение жидкости разрушиться, оставался нерешённым около 90 лет.

Одна из главных целей нашей работы — помогать учёным развивать науку и технологии на благо всего человечества. Для решения задачи Навье — Стокса мы использовали внутреннюю модель, значительно превосходящую по возможностям GPT‑6 Astra. Мы считаем важным рассказывать миру о темпах развития ИИ и о том, чего ожидать от будущих моделей.

Уравнения Навье — Стокса описывают движение жидкостей с помощью второго закона Ньютона («F=ma»). Важно, что жидкость в них рассматривается как сплошная среда, без отслеживания отдельных молекул. Эти уравнения применяют при проектировании самолётов, прогнозировании погоды и изучении кровотока.

Фундаментальный открытый вопрос для этих динамических уравнений состоял в том, может ли нарушиться приближение жидкости сплошной средой. А именно: может ли в уравнениях Навье — Стокса для трёхмерной несжимаемой жидкости постоянной плотности возникнуть «сингулярность», даже если движение изначально гладкое? Здесь сингулярность означает, что скорость жидкости за конечное время неограниченно возрастает. Сингулярность должна возникнуть вопреки вязкости, которая обычно сглаживает движение. Поскольку реальная жидкость не может двигаться бесконечно быстро, это означало бы, что уравнения перестают адекватно её описывать. Чтобы продолжить моделирование системы, пришлось бы отдельно отслеживать поведение каждой частицы.

Эти уравнения восходят к работам XIX века Клода-Луи Навье и Джорджа Габриэля Стокса. В 1934 году Жан Лере доказал существование решений в обобщённом смысле, однако вопрос о том, всегда ли они остаются гладкими, стал одной из главных нерешённых проблем. В 2000 году Математический институт Клэя включил задачу о существовании и гладкости решений уравнений Навье — Стокса в число семи задач тысячелетия.

Наша система получила аналитическое доказательство и формализацию на Lean того, что в изначально гладкой покоящейся жидкости за конечное время может возникнуть сингулярность. К жидкости прикладывается гладкая сила, а её энергия остаётся конечной на всём протяжении динамики — от покоя до образования сингулярности. Это решает задачу тысячелетия Навье — Стокса, доказывая утверждение «C» (а также «D») из официальной формулировки задач тысячелетия⁠(открывается в новом окне).

Решение представляет собой вихрь — вращающийся поток жидкости, который закручивается внутрь и всё сильнее вытягивается, подобно спагетти. Эта центральная область сжимается и ускоряется так, что её энергия всё же остаётся конечной, как того требуют законы физики. Техническая сложность в том, чтобы разрушение возникало в уравнениях из-за движения самой жидкости, а не, например, из-за искусственно заданной бесконечной силы. Выражаясь точнее, члены уравнений Навье — Стокса, описывающие движение, — ускорение, градиенты давления, перенос импульса и вязкость — должны стать большими, но при этом точно сократиться. Благодаря этому точному балансу внешняя сила остаётся гладкой, хотя скорость жидкости неограниченно растёт.

С 28 августа мы обучаем новую внутреннюю модель, которая показала беспрецедентные результаты в наших тестах, в том числе по математике. Обучение этой модели продолжается, и её показатели улучшаются.

Во вторник, 1 сентября, до нас дошли слухи о решении двух задач тысячелетия. Вдохновившись этими слухами и скачком возможностей нашей внутренней модели, мы решили проверить её на всех нерешённых задачах тысячелетия и нескольких других важных задачах.

Мы использовали систему взаимодействующих агентов на базе нашей внутренней модели. Агентам были доступны инструменты, в том числе чтение кэшированной версии интернета и выполнение кода. Агенты были разделены на группы и могли общаться внутри них. Размер групп различался; в группе, решившей задачу Навье — Стокса, одновременно работало около 10 000 агентов. Мы постоянно соблюдали те же строгие меры безопасности, включая мониторинг и изоляцию, которые применяем при оценке всех передовых моделей.

Для каждой задачи разные группы агентов получали разные варианты её условия, охватывавшие все формулировки. В случае задачи Навье — Стокса отдельным группам агентов предложили версии «A» и «B» (частные формулировки, приводящие к доказательству) и версии «C» и «D» (приводящие к опровержению).

Помимо полных задач тысячелетия мы предложили нашей мультиагентной системе набор «более простых» задач. Одна из них касалась аналогичного вопроса о возникновении сингулярности в предельном случае задачи Навье — Стокса без члена вязкости. Она известна как задача о регулярности решений уравнений Эйлера, и наши агенты неожиданно смогли её решить. Они решили вариант без внешнего воздействия, в котором к жидкости не прикладывается внешняя сила. Около 100 агентов совместно работали примерно 50 часов и получили наше опровержение регулярности решений уравнений Эйлера¹.

Увидев решение для уравнений Эйлера, мы сочли задачу Навье — Стокса наиболее перспективной. Поэтому мы решили направить ресурсы на задачу Навье — Стокса. Для этого мы перевели агентов с других задач тысячелетия и предоставили им решение для уравнений Эйлера. Когда в ходе работы стала доступна дообученная версия нашей внутренней модели, мы перевели агентов на неё.

Мы побуждали разные группы агентов исследовать различные подходы. Через некоторое время мы наладили обмен идеями между группами: с помощью Codex объединили самые полезные находки каждой из них. В последующих запросах использовались промежуточные результаты самих агентов. Именно так направлялась группа, нашедшая решение задачи Навье — Стокса.

Агенты получили решение в субботу, 5 сентября, примерно через 88 часов после запуска первых агентов. Формализация и проверка в Lean с помощью GPT‑6 Astra заняли ещё 17 часов.

При работе над всеми задачами агенты отправили 4,9 млн сообщений и использовали около 300 млрд выходных токенов. В процессе решения задачи Навье — Стокса агенты отправили 2,7 млн сообщений и использовали около 130 млрд выходных токенов.

Мы начали работу 1 сентября, услышав слух, который, как мы позже поняли, был связан с сотрудником Anthropic Левентом Альпёге и профессором математики Нью-Йоркского университета Тристаном Бакмастером.² Завершив проект и проверку в Lean 6 сентября, мы, полагая, что у них тоже есть решение задачи Навье — Стокса, предложили одновременно опубликовать результаты и признать их приоритет в совместном объявлении. Тогда мы узнали, что с помощью внутренней модели Anthropic они решили задачу Эйлера с внешней силой. В ходе обсуждений мы предложили показать им все использованные запросы, а позднее — и доказательство. Мы признаём приоритет их работы над уравнениями Эйлера с внешней силой и поздравляем их с выдающимся математическим достижением.

Ни мы, исследователи, ни агенты не видели их работу ни по каким каналам до её публикации; в частности, для решения этой задачи не использовались данные конкретных пользователей.

Проведённое расследование подтвердило, что запросы Бакмастера к Codex за два месяца до объявления и публикации статьи 8 сентября 2026 года никак не могли повлиять на систему, в том числе через обучение. Внутренняя модель OpenAI, использованная для получения этого результата, была создана путём масштабного обучения с подкреплением ранее предобученной модели. Наши доказательства также существенно различаются. Для уравнений Эйлера Альпёге и Бакмастер доказали результат с внешней силой, а система OpenAI — без неё.

Публикуя этот результат, мы хотим рассказать о значительном прогрессе наших моделей ИИ. Мы не намерены претендовать на премию тысячелетия за этот результат.

Эта веха стала итогом масштабной работы математиков и исследователей ИИ. Однако это не вершина, а лишь моментальный снимок прогресса в разработке ИИ.

Мы считаем, что начался новый этап развития ИИ⁠, и сегодняшние результаты служат ещё одним тому подтверждением. Сейчас мы стремимся лучше понять эту модель и использовать полученные знания, чтобы определять направление и темп дальнейшего развития её возможностей. Одна из наших главных целей⁠ — создавать управляемые и подотчётные системы ИИ, связанные с людьми. Для этого может потребоваться более осознанно выбирать темп прогресса, продолжая нашу миссию — сделать так, чтобы AGI приносил пользу всему человечеству.