Zece progrese în matematică și informatică teoretică

Dorim să le oferim oamenilor de știință și matematicienilor instrumente care accelerează descoperirile. De aceea, am anunțat recent ChatGPT pentru cercetători academici⁠, o inițiativă care le oferă unui număr de 100.000 de oameni de știință și matematicieni acces gratuit la cele mai bune modele ChatGPT ale noastre. De asemenea, continuăm să ne evaluăm modelele pe probleme de cercetare nerezolvate în timpul dezvoltării.

În luna mai, am prezentat o infirmare generată de IA⁠ a conjecturii lui Erdős privind distanța unitară, descoperită în timpul evaluării unui model încă nelansat. Această lucrare a inspirat deja noi progrese în matematică și informatică teoretică¹. Astăzi prezentăm o selecție de zece rezultate, fiecare dintre acestea rezolvând sau contribuind la progrese substanțiale în privința unei probleme nerezolvate de mult timp. Aceste probleme acoperă geometria multidimensională, teoria codurilor, complexitatea circuitelor aritmetice, teoria grupurilor, algebrele de operatori, complexitatea cuantică, criptografia bazată pe rețele și combinatorica extremală. Toate aceste probleme prezintă un interes considerabil pentru comunitățile matematice din domeniile respective, iar câteva dintre ele sunt de interes general pentru matematică în ansamblu.

Prezentăm rezultate noi pentru următoarele probleme. Rezultatele au fost obținute de o versiune internă a Astra, următorul nostru model major. Numărul total de tokenuri necesare pentru găsirea soluțiilor la aceste probleme ar costa aproximativ 2.000 $ la tarifele API Sol. Apoi, oamenii au transpus aceste argumente în manuscrise, folosind același model. Ulterior, modelul a formalizat fiecare argument într-un certificat Lean⁠(se deschide într-o fereastră nouă). De asemenea, publicăm pentru fiecare soluție relatarea modelului despre propriul proces de gândire.

1. Împachetarea sferelor în dimensiuni mari. Noi limite superioare pentru densitatea împachetării sferelor, până la pragul Cohn–Elkies.
2. Coduri binare și sferice: limite îmbunătățite exponențial pentru dimensiunea maximă a codurilor binare la orice distanță minimă prescrisă, cu rezultate similare pentru codurile sferice în dimensiuni mari.
3. Grupuri non-sofice. O construcție care demonstrează existența grupurilor nesofică, abordând o problemă deschisă fundamentală din teoria grupurilor.
4. Conjectura de rigiditate a lui Connes. Infirmarea unei conjecturi vechi potrivit căreia anumite grupuri sunt determinate în mod unic de algebrele lor von Neumann.
5. Complexitatea circuitelor aritmetice. Noi limite inferioare pentru calcularea permanentului folosind circuite și formule aritmetice, inclusiv o limită inferioară de ordinul n⁴/log n pentru formule aritmetice.
6. Repetiția paralelă cuantică. O teoremă de repetiție paralelă exponențială pentru jocurile cuantice generale cu doi jucători, care extinde un principiu fundamental din teoria clasică a complexității.
7. Problema vectorului cel mai apropiat. Dificultatea de aproximare de ordin polinomial pentru problema vectorului cel mai apropiat, o problemă fundamentală din domeniul rețelelor, legată de criptografia post-cuantică.
8. Conjectura lui Ehrhart privind volumul. Determinarea, în fiecare dimensiune, a volumului maxim posibil al unui corp convex al cărui centroid este singurul său punct interior al rețelei.
9. Numere Ramsey multicolore. O limită inferioară superexponențială pentru numerele Ramsey multicolore ale triunghiurilor, care rezolvă problema 183 a lui Erdős.
10. Conjecturi privind numerele extremale. Rezultate privind conjecturile de compactitate și degenerare din teoria extremală a grafurilor, care rezolvă problemele 146 și 180 ale lui Erdős.

Apariția unor sisteme capabile să contribuie la cercetarea matematică ridică întrebări la care o companie de tehnologie nu poate răspunde singură. Există numeroase opinii despre rolul IA în matematică, iar noi îi respectăm profund și îi înțelegem pe cei preocupați de impactul acesteia, inclusiv pe semnatarii Declarației de la Leiden privind IA și matematica⁠(se deschide într-o fereastră nouă). Considerăm că atribuirea meritelor trebuie să reflecte cu sinceritate modul în care a fost obținut un rezultat: revendicarea paternității umane pentru o demonstrație generată integral de un sistem de IA ar denatura atât contribuția sistemului, cât și natura activității intelectuale umane autentice. Am contribuit la pregătirea manuscriselor și formalizarea demonstrațiilor în Lean și ne asumăm răspunderea pentru corectitudinea lor, iar argumentele matematice propriu-zise au fost generate de sistemul nostru. Sperăm că membrii comunității matematice vor analiza în profunzime aceste rezultate, le vor plasa în context și vor da viață ideilor care stau la baza lor prin noi cercetări și descoperiri.

Pe măsură ce sistemele de IA evoluează și devin colaboratori de cercetare mai sofisticați, asigurarea unui acces larg este esențială pentru a sprijini oamenii de știință și matematicienii în timp ce explorează și definesc viitorul disciplinelor lor în această epocă a transformărilor.