Despre Problema Premiului Mileniului Navier–Stokes

Prezentăm o soluție la problema existenței și regularității Navier–Stokes, una dintre Problemele Premiului Mileniului. Această demonstrație, realizată de un sistem intern OpenAI, arată că dinamica ecuațiilor Navier–Stokes pentru mișcarea fluidelor poate dezvolta o singularitate într-un timp finit. Publicăm atât expunerea demonstrației, cât și o formalizare în Lean.

Problemele Premiului Mileniului⁠(se deschide într-o fereastră nouă) reprezintă unele dintre cele mai profunde întrebări din cercetarea matematică de vârf. Întrebarea dacă mișcarea regulată a unui fluid tridimensional se poate dezorganiza a rămas fără răspuns timp de aproximativ 90 de ani.

Un obiectiv major al activității noastre este să le oferim oamenilor de știință mijloacele de a dezvolta cercetarea și tehnologia în beneficiul întregii omeniri. Pentru a rezolva problema Navier–Stokes, am folosit un model intern cu capacități semnificativ mai avansate decât GPT‑6 Astra. Considerăm că este important să informăm lumea despre ritmul progreselor IA și despre ceea ce ne putem aștepta de la modelele viitoare.

Ecuațiile Navier–Stokes folosesc a doua lege a mișcării formulată de Newton („F=ma”) pentru a descrie mișcarea fluidelor. Este important de menționat că acestea tratează fluidul drept un mediu continuu, în loc să urmărească moleculele individuale. Aceste ecuații sunt folosite la proiectarea aeronavelor, prognoza meteo și studiul fluxului sanguin.

O întrebare fundamentală rămasă fără răspuns pentru aceste ecuații dinamice este dacă aproximarea fluidului ca mediu continuu poate înceta să fie valabilă. Mai exact, pot ecuațiile Navier–Stokes pentru un fluid tridimensional incompresibil, cu densitate constantă, să dezvolte o „singularitate”, chiar dacă mișcarea începe lin? În acest context, o singularitate înseamnă că dinamica duce, într-un interval finit de timp, la viteze ale fluidului care cresc fără limită. Singularitatea ar trebui să apară în ciuda prezenței viscozității, care tinde să uniformizeze mișcarea. Întrucât un fluid real nu se poate deplasa cu o viteză infinită, aceasta ar marca punctul în care ecuațiile nu mai modelează corect fluidul. Pentru a continua modelarea sistemului, ar trebui apoi urmărit individual comportamentul fiecărei particule.

Ecuațiile își au originea în lucrările din secolul al XIX-lea ale lui Claude-Louis Navier și George Gabriel Stokes. În 1934, Jean Leray a demonstrat că soluțiile există într-un sens generalizat, însă întrebarea dacă ele rămân întotdeauna regulate a devenit una dintre principalele probleme nerezolvate. În 2000, Clay Mathematics Institute a desemnat problema existenței și regularității Navier–Stokes drept una dintre cele șapte Probleme ale Premiului Mileniului.

Sistemul nostru a realizat o demonstrație analitică și o formalizare în Lean care arată că un fluid inițial regulat și aflat în repaus poate dezvolta o singularitate într-un timp finit. Asupra fluidului acționează o forță regulată, iar energia sa rămâne finită pe parcursul întregii dinamici, de la repaus până la formarea singularității. Aceasta rezolvă Problema Premiului Mileniului Navier–Stokes prin demonstrarea enunțului „C” (și, de asemenea, „D”) din formularea oficială a Premiului Mileniului⁠(se deschide într-o fereastră nouă).

Soluția este un vortex, un vârtej de fluid aflat în rotație, care se deplasează în spirală spre interior și se alungește tot mai mult, ca niște spaghete. Această regiune centrală se micșorează și accelerează astfel încât energia sa rămâne totuși finită, conform cerințelor legilor fizicii. Dificultatea tehnică este ca ecuațiile să ajungă la această pierdere a regularității prin însăși mișcarea fluidului și nu, de exemplu, prin introducerea artificială a unei forțe infinite. În termeni mai matematici, termenii ecuațiilor Navier–Stokes care descriu mișcarea, adică accelerația, gradienții de presiune, transferul de impuls și viscozitatea, trebuie să devină simultan mari, dar și să se anuleze reciproc cu precizie. Acest echilibru detaliat menține forța externă regulată, chiar dacă viteza fluidului crește fără limită.

Din 28 august instruim un nou model intern, care a demonstrat performanțe fără precedent în benchmarkurile noastre, inclusiv la matematică. Instruirea acestui model continuă, iar performanțele sale se îmbunătățesc în permanență.

Marți, 1 septembrie, am auzit zvonuri că două Probleme ale Premiului Mileniului fuseseră rezolvate. Fiind inspirați de aceste zvonuri și de saltul de performanță al modelului nostru intern, am inițiat un demers pentru a-l evalua în cadrul tuturor Problemelor Premiului Mileniului nerezolvate și al câtorva probleme cu impact major.

Am folosit un sistem de agenți coordonați, bazat pe modelul nostru intern. Agenții aveau acces la instrumente precum consultarea unei versiuni a internetului stocate în cache și rularea de cod. Agenții au fost împărțiți în grupuri, membrii fiecărui grup putând comunica între ei. Grupurile aveau dimensiuni diferite, iar cel care a rezolvat problema Navier–Stokes a inclus aproximativ 10.000 de agenți activi simultan. Am menținut permanent aceleași măsuri stricte de protecție pe care le aplicăm tuturor evaluărilor modelelor noastre de vârf, inclusiv monitorizarea și izolarea.

Pentru fiecare problemă, le-am prezentat unor grupuri diferite de agenți variante diferite ale enunțului problemei, cuprinzând toate formele problemei. Pentru problema Navier–Stokes, le-am propus unor grupuri distincte de agenți versiunile „A” și „B” (forme particulare ale problemei Navier–Stokes care ar conduce la o demonstrație), respectiv versiunile „C” și „D” (care ar conduce la o infirmare).

Pe lângă Problemele complete ale Premiului Mileniului, i-am cerut sistemului nostru multiagent să încerce și un set de probleme „mai ușoare”. Una dintre acestea era o problemă similară referitoare la limita problemei Navier–Stokes obținută prin eliminarea termenului de viscozitate. Aceasta este cunoscută drept problema regularității ecuațiilor Euler, iar agenții noștri ne-au surprins prin rezolvarea sa. Varianta concretă pe care au rezolvat-o a fost cea neforțată, în care asupra fluidului nu se aplică nicio forță externă. Aproape 100 de agenți au colaborat timp de aproximativ 50 de ore pentru a realiza infirmarea regularității Euler¹.

Odată ce am văzut soluția lui Euler, am considerat că problema Navier–Stokes avea cele mai mari șanse de succes. Astfel, am decis să ne concentrăm resursele asupra problemei Navier–Stokes. În acest scop, am redirecționat agenții de la celelalte Probleme ale Mileniului și le-am prezentat rezolvarea Euler. În cursul acestui demers, când a devenit disponibilă o versiune mai bine instruită a modelului nostru intern, ne-am actualizat agenții conform noului model.

Am încurajat grupurile de agenți să exploreze o gamă variată de abordări. După un timp, am facilitat schimbul de idei între grupurile de agenți, folosind Codex pentru a sintetiza cele mai utile concluzii ale fiecărui grup. Aceste solicitări ulterioare s-au bazat pe rezultatele intermediare obținute chiar de agenți. Grupul care a găsit soluția problemei Navier–Stokes a fost îndrumat în acest mod.

Agenții au găsit o rezolvare sâmbătă, 5 septembrie, la aproximativ 88 de ore după lansarea primilor agenți. Formalizarea și verificarea în Lean au durat încă 17 ore, cu ajutorul GPT‑6 Astra.

Pentru toate problemele abordate, agenții au trimis 4,9 milioane de mesaje și au folosit aproximativ 300 de miliarde de tokenuri de ieșire. În procesul de rezolvare a problemei Navier–Stokes, agenții au trimis 2,7 milioane de mesaje și au folosit aproximativ 130 de miliarde de tokenuri de ieșire.

Demersul nostru a început pe 1 septembrie, după ce am auzit un zvon despre care am aflat ulterior că avea legătură cu Levent Alpöge, angajat Anthropic, și Tristan Buckmaster, profesor universitar de matematică la NYU.² După finalizarea întregului proiect și a verificării în Lean, pe 6 septembrie, am presupus pe baza zvonului că și ei aveau o soluție pentru Navier–Stokes. I-am contactat pentru a le propune publicarea simultană a rezultatului nostru și recunoașterea priorității lor într-un anunț comun. Atunci am aflat că, folosind un model intern Anthropic, ei rezolvaseră problema Euler cu forțare externă. În cadrul acestor discuții, le-am oferit acces la toate solicitările folosite de noi și, ulterior, posibilitatea de a ne vedea demonstrația. Le recunoaștem prioritatea eforturilor referitoare la ecuațiile Euler cu forțare și îi felicităm pentru remarcabila lor realizare matematică.

Noi, cercetătorii și agenții, nu am avut acces la activitatea lor sub nicio formă până când aceasta nu a fost făcută publică. În mod deosebit, nu au fost consultate date specifice ale utilizatorilor în scopul rezolvării acestei probleme.

În urma unei investigații, am confirmat că solicitările adresate de Buckmaster către Codex în cele două luni dinaintea anunțului și a lucrării din 8 septembrie 2026 nu ar fi putut influența în niciun fel sistemul, nici măcar prin instruire. Modelul intern OpenAI folosit pentru acest rezultat a fost dezvoltat prin învățare prin consolidare la scară largă, pornind de la un model instruit în prealabil, iar demonstrațiile noastre diferă semnificativ. În cazul Euler, Alpöge și Buckmaster au demonstrat un rezultat cu forțare externă, în timp ce sistemul OpenAI a demonstrat un rezultat fără forțare externă.

Prin publicarea acestui rezultat, dorim să prezentăm progresele substanțiale ale modelelor noastre de IA. Nu intenționăm să revendicăm Premiul Mileniului pentru acest rezultat.

Această realizare importantă este rezultatul unei activități considerabile desfășurate de matematicieni și cercetători în domeniul IA. Totuși, acesta nu este un punct culminant, ci doar o imagine de moment a progreselor în dezvoltarea IA.

Considerăm că am intrat într-o nouă etapă a progresului IA⁠, iar rezultatele de astăzi constituie încă o dovadă în acest sens. Ne concentrăm asupra înțelegerii acestui model și folosim ceea ce învățăm pentru a ne orienta și calibra ritmul în care urmărim noi progrese ale capacităților. Unul dintre obiectivele noastre esențiale⁠ este să construim sisteme de IA care pot fi îndrumate, sunt responsabile și rămân conectate la oameni. Pe măsură ce ne continuăm misiunea de a ne asigura că AGI aduce beneficii întregii omeniri, acest lucru poate necesita decizii mai conștiente privind ritmul progresului.