O milenijnym problemie Naviera–Stokesa

Udostępniamy rozwiązanie problemu istnienia i gładkości rozwiązań równań Naviera–Stokesa, jednego z problemów milenijnych. Dowód opracowany przez wewnętrzny system OpenAI pokazuje, że w dynamice opisanej równaniami Naviera–Stokesa dla ruchu płynu może w skończonym czasie powstać osobliwość. Udostępniamy zarówno opis dowodu, jak i jego formalizację w Lean.

Problemy milenijne⁠(otwiera nowe okno) należą do najgłębszych zagadnień pionierskiej matematyki. Pytanie, czy gładki trójwymiarowy ruch płynu może utracić regularność, pozostawało bez odpowiedzi przez około 90 lat.

Jednym z głównych celów naszej pracy jest umożliwienie naukowcom rozwijania badań i technologii z korzyścią dla całej ludzkości. Aby rozwiązać problem Naviera–Stokesa, użyliśmy wewnętrznego modelu, który znacznie przewyższa możliwości GPT‑6 Astra. Uważamy, że należy informować świat o tempie rozwoju AI oraz o tym, czego można oczekiwać od nadchodzących modeli.

Równania Naviera–Stokesa wykorzystują drugą zasadę dynamiki Newtona („F=ma”) do opisu ruchu płynów. Co ważne, traktują płyn jako ośrodek ciągły, zamiast śledzić poszczególne cząsteczki. Równania te wykorzystuje się przy projektowaniu samolotów, prognozowaniu pogody i badaniu przepływu krwi.

Podstawowym otwartym pytaniem dotyczącym tych równań dynamicznych było to, czy przybliżenie płynu jako ośrodka ciągłego może przestać obowiązywać. Czy konkretnie w równaniach Naviera–Stokesa dla trójwymiarowego, nieściśliwego płynu o stałej gęstości może powstać „osobliwość”, nawet jeśli ruch początkowo jest gładki? Osobliwość oznacza tutaj, że dynamika układu prowadzi w skończonym czasie do nieograniczonego wzrostu prędkości płynu. Osobliwość musiałaby powstać pomimo lepkości, która zwykle wygładza ruch. Ponieważ rzeczywisty płyn nie może poruszać się nieskończenie szybko, oznaczałoby to załamanie opisu płynu przez te równania. Dalsze modelowanie układu wymagałoby wówczas osobnego śledzenia zachowania każdej cząstki.

Równania wywodzą się z XIX-wiecznych prac Claude’a-Louisa Naviera i George’a Gabriela Stokesa. W 1934 roku Jean Leray dowiódł istnienia rozwiązań w sensie uogólnionym, lecz pytanie, czy zawsze pozostają one gładkie, stało się jednym z najważniejszych nierozstrzygniętych zagadnień. W 2000 roku Clay Mathematics Institute zaliczył problem istnienia i gładkości rozwiązań równań Naviera–Stokesa do siedmiu problemów milenijnych.

Nasz system opracował dowód analityczny i formalizację w Lean, zgodnie z którymi początkowo gładki płyn w spoczynku może w skończonym czasie wytworzyć osobliwość. Na płyn działa gładka siła, a jego energia pozostaje skończona przez cały przebieg procesu — od spoczynku po powstanie osobliwości. Rozwiązuje to milenijny problem Naviera–Stokesa poprzez wykazanie tezy „C” (a także „D”) z oficjalnego sformułowania problemu milenijnego⁠(otwiera nowe okno).

Rozwiązaniem jest wir — wirująca struga płynu, która spiralnie przemieszcza się do wewnątrz i coraz bardziej rozciąga, niczym spaghetti. Ten centralny obszar kurczy się i przyspiesza w taki sposób, że jego energia nadal pozostaje skończona, zgodnie z prawami fizyki. Trudność techniczna polega na tym, by załamanie rozwiązania wynikało z ruchu samego płynu, a nie na przykład z ręcznego wprowadzenia nieskończonej siły. W ujęciu bardziej matematycznym składniki równań Naviera–Stokesa opisujące ruch — przyspieszenie, gradienty ciśnienia, przenoszenie pędu i lepkość — muszą jednocześnie stać się duże, a zarazem precyzyjnie się znosić. Ta precyzyjna równowaga pozwala zachować gładką siłę zewnętrzną, mimo że prędkość płynu rośnie bez ograniczeń.

Od 28 sierpnia trenujemy nowy wewnętrzny model, który osiąga bezprecedensowe wyniki w naszych testach porównawczych, między innymi z matematyki. Trening tego modelu nadal trwa, a jego skuteczność wciąż rośnie.

We wtorek 1 września usłyszeliśmy pogłoski, że rozwiązano dwa problemy milenijne. Zainspirowani tymi pogłoskami oraz skokowym wzrostem możliwości naszego wewnętrznego modelu rozpoczęliśmy ocenę jego skuteczności we wszystkich otwartych problemach milenijnych i kilku innych problemach o dużym znaczeniu.

Użyliśmy systemu współpracujących agentów opartych na naszym wewnętrznym modelu. Agenci mieli dostęp do narzędzi pozwalających między innymi przeglądać zapisaną w pamięci podręcznej wersję internetu i uruchamiać kod. Agentów podzielono na grupy, których członkowie mogli się ze sobą komunikować. Grupy miały różną liczebność, a ta, która rozwiązała problem Naviera–Stokesa, liczyła około 10 000 działających równolegle agentów. Przez cały czas stosowaliśmy te same rygorystyczne zabezpieczenia co przy wszystkich ocenach naszych pionierskich modeli, w tym monitorowanie i izolację.

Dla każdego problemu przekazywaliśmy różnym grupom agentów różne warianty jego treści, obejmujące wszystkie odmiany problemu. W przypadku problemu Naviera–Stokesa osobnym grupom agentów przedstawiliśmy warianty „A” i „B” (szczególne postacie problemu prowadzące do dowodu) oraz warianty „C” i „D” (prowadzące do obalenia tezy).

Oprócz pełnych problemów milenijnych poprosiliśmy nasz system wieloagentowy o podjęcie próby rozwiązania zestawu „łatwiejszych” problemów. Jednym z nich było podobne pytanie o powstawanie osobliwości w granicznym przypadku problemu Naviera–Stokesa, z którego usunięto składnik lepkości. Zagadnienie to jest znane jako problem regularności równań Eulera. Ku naszemu zaskoczeniu agenci je rozstrzygnęli. Rozwiązali konkretnie wariant bez wymuszenia, w którym na płyn nie działa żadna siła zewnętrzna. Blisko 100 agentów współpracowało przez około 50 godzin, aby obalić tezę o regularności rozwiązań równań Eulera¹.

Gdy zobaczyliśmy rozwiązanie dotyczące równań Eulera, uznaliśmy problem Naviera–Stokesa za najbardziej obiecujący kierunek prac. Postanowiliśmy więc przeznaczyć nasze zasoby na problem Naviera–Stokesa. W tym celu przenieśliśmy agentów z pozostałych problemów milenijnych i przekazaliśmy im rozwiązanie dotyczące równań Eulera. Gdy w toku prac udostępniono bardziej wytrenowaną wersję naszego wewnętrznego modelu, zaktualizowaliśmy model używany przez agentów.

Zachęcaliśmy różne grupy agentów do badania wielu odmiennych podejść. Po pewnym czasie umożliwiliśmy wymianę wiedzy między grupami agentów, wykorzystując Codex do zebrania najcenniejszych spostrzeżeń każdej z nich. Kolejne prompty opierały się na wynikach pośrednich uzyskanych przez samych agentów. W ten sposób pokierowano grupą, która znalazła rozwiązanie problemu Naviera–Stokesa.

Agenci uzyskali rozwiązanie w sobotę 5 września, około 88 godzin po uruchomieniu pierwszych agentów. Formalizacja i weryfikacja w Lean za pomocą GPT‑6 Astra zajęły dodatkowe 17 godzin.

W ramach prac nad wszystkimi problemami agenci wysłali 4,9 miliona wiadomości i wykorzystali około 300 miliardów tokenów wyjściowych. Podczas rozwiązywania problemu Naviera–Stokesa agenci wysłali 2,7 miliona wiadomości i wykorzystali około 130 miliardów tokenów wyjściowych.

Nasze prace rozpoczęły się 1 września po usłyszeniu pogłoski, która — jak zrozumieliśmy później — dotyczyła Leventa Alpögego, pracownika Anthropic, oraz Tristana Buckmastera, profesora matematyki na NYU.² Po ukończeniu całego projektu i weryfikacji w Lean (6 września), sądząc na podstawie tej pogłoski, że oni również rozwiązali problem Naviera–Stokesa, skontaktowaliśmy się z nimi. Zaproponowaliśmy jednoczesną publikację naszych wyników i uznanie pierwszeństwa ich pracy we wspólnym komunikacie. Wtedy dowiedzieliśmy się, że za pomocą wewnętrznego modelu Anthropic rozwiązali problem równań Eulera z wymuszeniem. W toku tych rozmów zaproponowaliśmy im wgląd we wszystkie użyte przez nas prompty, a później również w sam dowód. Uznajemy pierwszeństwo ich pracy nad równaniami Eulera z wymuszeniem i gratulujemy im tego wybitnego osiągnięcia matematycznego.

My — badacze i agenci — nie mieliśmy żadnego dostępu do ich pracy, dopóki nie opublikowali jej publicznie. W szczególności przy rozwiązywaniu tego problemu nie uzyskano dostępu do żadnych konkretnych danych użytkowników.

Po przeprowadzeniu dochodzenia potwierdziliśmy, że prompty Buckmastera kierowane do Codex w ciągu dwóch miesięcy poprzedzających publikację tego komunikatu i artykułu 8 września 2026 roku nie mogły w żaden sposób wpłynąć na system, także poprzez trening. Wewnętrzny model OpenAI wykorzystany do uzyskania tego wyniku opracowano poprzez zakrojone na szeroką skalę uczenie przez wzmacnianie na bazie wcześniej wytrenowanego modelu. Nasze dowody również znacznie się różnią. W przypadku równań Eulera Alpöge i Buckmaster dowiedli wyniku z wymuszeniem zewnętrznym, natomiast system OpenAI — wyniku bez wymuszenia zewnętrznego.

Publikując ten wynik, chcemy poinformować o znaczącym postępie naszych modeli AI. Nie zamierzamy ubiegać się o Nagrodę Milenijną za ten wynik.

Ten przełomowy wynik jest efektem ogromnej pracy matematyków i badaczy AI. Nie jest to jednak punkt kulminacyjny, lecz obraz postępu w rozwoju AI uchwycony w konkretnym momencie.

Uważamy, że weszliśmy w kolejny okres rozwoju AI⁠, a dzisiejsze wyniki stanowią na to kolejny dowód. Koncentrujemy się na zrozumieniu tego modelu i wykorzystaniu zdobytej wiedzy do wyznaczania kierunku oraz tempa dalszego rozwoju jego możliwości. Jednym z naszych kluczowych celów⁠ jest tworzenie systemów AI, którymi można kierować, które są rozliczalne i związane z ludźmi. Kontynuując naszą misję zapewnienia, by AGI przynosiła korzyści całej ludzkości, możemy być zmuszeni do bardziej świadomego decydowania o tempie postępu.