OpenAI ਦੇ ਮਾਡਲ ਨੇ ਵਿਛਿੰਨ ਜਿਆਮਿਤੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੇਂਦਰੀ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ਗਲਤ ਸਾਬਤ ਕੀਤਾ ਹੈ

ਇਸ ਵਿੱਚ ਲਗਭਗ 80 ਸਾਲਾਂ ਤੋਂ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਨੇ ਦੇਖਣ ਨੂੰ ਸਧਾਰਨ ਲੱਗਣ ਵਾਲੇ ਸਵਾਲ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ: ਜੇ ਤੁਸੀਂ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ $n$ ਬਿੰਦੂ ਰੱਖੋ, ਤਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਜੋੜੇ ਬਿਲਕੁਲ $1$ ਦੀ ਦੂਰੀ 'ਤੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ?

ਇਹ ਸਮਤਲੀ ਇਕਾਈ ਦੂਰੀ ਸਮੱਸਿਆ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ 1946 ਵਿੱਚ ਪਾਲ ਏਰਡੋਸ ਨੇ ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਇਹ ਸੰਯੋਜਕੀ ਜਿਆਮਿਤੀ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਸਵਾਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ, ਜਿਸ ਨੂੰ ਬਿਆਨ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਹੈ ਪਰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈਰਾਨੀਜਨਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੈ। ਬ੍ਰਾਸ, ਮੋਜ਼ਰ, ਅਤੇ ਪੈਚ ਦੀ 2005 ਦੀ ਕਿਤਾਬ ਰਿਸਰਚ ਪ੍ਰੋਬਲਮਜ਼ ਇਨ ਡਿਸਕਰੀਟ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰੀ ਇਸ ਨੂੰ “ਸੰਯੋਜਕੀ ਜਿਆਮਿਤੀ ਵਿੱਚ ਸੰਭਵ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਪ੍ਰਸਿੱਧ (ਅਤੇ ਸਮਝਾਉਣ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਸੌਖੀ) ਸਮੱਸਿਆ” ਕਹਿੰਦੀ ਹੈ। ਪ੍ਰਿੰਸਟਨ ਦੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਸੰਯੋਜਕੀ ਵਿਦਵਾਨ ਨੋਗਾ ਅਲੋਨ ਇਸ ਨੂੰ “ਏਰਡੋਸ ਦੀਆਂ ਮਨਪਸੰਦ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ” ਵਜੋਂ ਵਰਣਨ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਏਰਡੋਸ ਨੇ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਨਕਦ ਇਨਾਮ ਦੀ ਪੇਸ਼ਕਸ਼ ਵੀ ਕੀਤੀ ਸੀ।

ਅੱਜ, ਅਸੀਂ ਇਕਾਈ ਦੂਰੀ ਸਮੱਸਿਆ ਬਾਰੇ ਵੱਡੀ ਪ੍ਰਗਤੀ ਸਾਂਝੀ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਏਰਡੋਸ ਦੇ ਮੂਲ ਕੰਮ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਪ੍ਰਚਲਿਤ ਧਾਰਣਾ ਇਹ ਰਹੀ ਹੈ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਦਿਖਾਈਆਂ “ਵਰਗ ਗ੍ਰਿਡ” ਬਣਤਰਾਂ ਇਕਾਈ-ਦੂਰੀ ਵਾਲੇ ਜੋੜਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕਰਨ ਲਈ ਮੂਲ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਰਵੋਤਮ ਸਨ। OpenAI ਦੇ ਇੱਕ ਅੰਦਰੂਨੀ ਮਾਡਲ ਨੇ ਇਸ ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਤੋਂ ਚੱਲੇ ਆ ਰਹੇ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ਗਲਤ ਸਾਬਤ ਕਰ ਦਿੱਤਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਪਰਿਵਾਰ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਹੈ ਜੋ ਇਸ ਵਿੱਚ ਬਹੁਪਦ ਸੁਧਾਰ ਲਿਆਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਬੂਤ ਦੀ ਜਾਂਚ ਬਾਹਰੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਸਹਿਯੋਗੀ ਖੋਜ-ਪੱਤਰ ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਹੈ ਜੋ ਤਰਕ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਮਹੱਤਤਾ ਲਈ ਹੋਰ ਪਿਛੋਕੜ ਅਤੇ ਸੰਦਰਭ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।

ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਇਸ ਗੱਲ ਲਈ ਵੀ ਬੇਹੱਦ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਕਿਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਖੋਜਿਆ ਗਿਆ ਸੀ। ਇਹ ਸਬੂਤ ਨਵੇਂ ਸਧਾਰਣ-ਉਦੇਸ਼ੀ ਰੀਜ਼ਨਿੰਗ ਮਾਡਲ ਰਾਹੀਂ ਸਾਹਮਣੇ ਆਇਆ ਹੈ, ਨਾ ਕਿ ਕਿਸੇ ਅਜਿਹੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਤੋਂ ਜਿਸ ਨੂੰ ਖ਼ਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਗਣਿਤ ਲਈ ਸਿਖਲਾਈ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੋਵੇ, ਪ੍ਰਮਾਣ-ਰਣਨੀਤੀਆਂ ਦੀ ਖੋਜ ਕਰਨ ਲਈ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਢਾਂਚੇ ਵਜੋਂ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੋਵੇ, ਜਾਂ ਖ਼ਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇਕਾਈ ਦੂਰੀ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਨਿਸ਼ਾਨਾ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੋਵੇ। ਇਹ ਜਾਂਚਣ ਦੇ ਵਿਆਪਕ ਯਤਨ ਦੇ ਹਿੱਸੇ ਵਜੋਂ ਕਿ ਕੀ ਉੱਨਤ ਮਾਡਲ ਅਤਿ-ਆਧੁਨਿਕ ਖੋਜ ਵਿੱਚ ਯੋਗਦਾਨ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਇਸਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਏਰਡੋਸ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸੰਗ੍ਰਹਿ 'ਤੇ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਇਸਨੇ ਅਣਸੁਲਝੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਸਬੂਤ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ।

ਇਹ ਸਬੂਤ ਗਣਿਤ ਅਤੇ AI ਭਾਈਚਾਰਿਆਂ ਲਈ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਮੀਲ ਪੱਥਰ ਹੈ। ਇਹ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਹੈ ਕਿ ਗਣਿਤ ਦੇ ਉਪਖੇਤਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਕਿਸੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਅਣਸੁਲਝੀ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ AI ਨੇ ਖੁਦਮੁਖਤਿਆਰ ਢੰਗ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਇਹ ਇਹ ਵੀ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹੁਣ ਇਹ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਰੀਜ਼ਨਿੰਗ ਦੀ ਕਿੰਨੀ ਡੂੰਘਾਈ ਦਾ ਸਮਰਥਨ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਗਣਿਤ ਰੀਜ਼ਨਿੰਗ ਲਈ ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਪਸ਼ਟ ਪਰਖ-ਮੰਚ ਦਿੰਦਾ ਹੈ: ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਸਟੀਕ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਸੰਭਾਵਿਤ ਸਬੂਤਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਕੋਈ ਲੰਮਾ ਤਰਕ ਉਦੋਂ ਹੀ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਰੀਜ਼ਨਿੰਗ ਸ਼ੁਰੂ ਤੋਂ ਅੰਤ ਤੱਕ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਜੁੜੀ ਰਹੇ। ਜਿਸ ਢੰਗ ਨਾਲ ਇਹ ਸਮੱਸਿਆ ਹੱਲ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਉਹ ਵੀ ਧਿਆਨ ਦੇਣਯੋਗ ਹੈ। ਇਹ ਸਬੂਤ ਬੀਜਗਣਿਤਕ ਸੰਖਿਆ ਸਿਧਾਂਤ ਦੇ ਅਣਕਿਆਸੇ, ਜਟਿਲ ਵਿਚਾਰਾਂ ਨੂੰ ਮੂਲਭੂਤ ਜਿਆਮਿਤੀ ਸਵਾਲ 'ਤੇ ਲਾਗੂ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਫੀਲਡਜ਼ ਮੈਡਲ ਜੇਤੂ ਟਿਮ ਗੋਵਰਸ ਨੇ ਸਬੰਧਿਤ ਖੋਜ ਪੱਤਰ ਵਿੱਚ ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ “AI ਗਣਿਤ ਦੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਮੀਲ ਪੱਥਰ” ਕਿਹਾ ਹੈ। ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਸੰਖਿਆ ਸਿਧਾਂਤਕਾਰ ਅਰੁਲ ਸ਼ੰਕਰ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, “ਮੇਰੀ ਰਾਏ ਵਿੱਚ ਇਹ ਖੋਜ ਪੱਤਰ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਮੌਜੂਦਾ AI ਮਾਡਲ ਮਨੁੱਖੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਲਈ ਸਿਰਫ਼ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋਣ ਤੋਂ ਕਿਤੇ ਅੱਗੇ ਨਿਕਲ ਗਏ ਹਨ – ਉਹ ਮੂਲ ਅਤੇ ਚਤੁਰ ਵਿਚਾਰ ਰੱਖਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹਨ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਵੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ।”

ਸਬੂਤ ਇੱਥੇ⁠(ਨਵੀਂ ਵਿੰਡੋ ਵਿੱਚ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ) ਉਪਲਬਧ ਹੈ। ਮੋਹਰੀ ਬਾਹਰੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਵੱਲੋਂ ਲਿਖਿਆ ਸਬੰਧਿਤ ਖੋਜ ਪੱਤਰ ਇੱਥੇ⁠(ਨਵੀਂ ਵਿੰਡੋ ਵਿੱਚ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ) ਉਪਲਬਧ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਮਾਡਲ ਦੇ ਚੇਨ-ਆਫ-ਥੌਟ ਦਾ ਸੰਖੇਪ ਵਰਜ਼ਨ ਇੱਥੇ⁠(ਨਵੀਂ ਵਿੰਡੋ ਵਿੱਚ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ) ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹੋ।

ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ $u(n)$ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ $n$ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚ ਇਕਾਈ-ਦੂਰੀ ਵਾਲੇ ਜੋੜਿਆਂ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਭਵ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਰੇਖੀ ਵਾਧਾ ਦਰ ਹਾਸਲ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਬਣਾਉਣਾ ਆਸਾਨ ਹੈ: $n$ ਬਿੰਦੂ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਨਾਲ $n-1$ ਜੋੜੇ ਮਿਲਦੇ ਹਨ, ਜਦਕਿ ਵਰਗ ਗਰਿੱਡ ਲਗਭਗ $2n$ ਜੋੜੇ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਜਾਣੀ ਬਣਤਰ, ਜੋ ਰੀਸਕੇਲ ਕੀਤੇ ਵਰਗਾਕਾਰ ਗਰਿੱਡ ਤੋਂ ਆਉਂਦੀ ਹੈ, ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤੋਂ ਵੀ ਵੱਧ ਦਿੰਦੀ ਹੈ: $n^{1 + C / \log \log(n)}$, ਜਿੱਥੇ $C$ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ $\log \log(n)$, $n$ ਦੇ ਨਾਲ ਅਨੰਤ ਵੱਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਘਾਤ ਵਿੱਚ ਵਾਧੂ ਪਦ $0$ ਵੱਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਬਣਤਰਾਂ ਸਿਰਫ਼ ਰੇਖਿਕ ਨਾਲ ਥੋੜ੍ਹਾ ਜਿਹਾ ਤੇਜ਼ ਵਾਧਾ ਹਾਸਲ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਦਹਾਕਿਆਂ ਤੱਕ ਇਹ ਵਿਆਪਕ ਵਿਸ਼ਵਾਸ ਰਿਹਾ ਕਿ ਇਹ ਦਰ ਮੂਲ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੰਭਵ ਸੀ, ਅਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਬਣਤਰ ਵਰਗ ਗ੍ਰਿਡ ਨਾਲੋਂ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਸੁਧਾਰ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੀ ਸੀ। ਤਕਨੀਕੀ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, ਏਰਡੋਸ ਨੇ $n^{1+o(1)}$ ਦੀ ਉੱਪਰੀ ਸੀਮਾ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਾਇਆ ਸੀ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਵਾਧੂ $o(1)$ ਉਸ ਪਦ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ $n$ ਦੇ ਨਾਲ $0$ ਵੱਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਸਾਡਾ ਨਵਾਂ ਨਤੀਜਾ ਇਸ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ਗਲਤ ਸਾਬਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਨੂੰ ਹੋਰ ਸਪਸ਼ਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਹੀਏ ਤਾਂ $n$ ਦੇ ਅਣਗਿਣਤ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ, ਇਹ ਸਬੂਤ ਕਿਸੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਘਾਤ $\delta > 0$ ਲਈ $n$ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀਆਂ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਰਚਨਾਵਾਂ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ $n^{1+\delta}$ ਇਕਾਈ-ਦੂਰੀ ਵਾਲੇ ਜੋੜੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। (ਮੂਲ AI ਸਬੂਤ ਕੋਈ ਸਪਸ਼ਟ $\delta$ ਨਹੀਂ ਦਿੰਦਾ, ਪਰ ਪ੍ਰਿੰਸਟਨ ਦੇ ਗਣਿਤ ਪ੍ਰੋਫੈਸਰ ਵਿਲ ਸੌਵਿਨ ਵੱਲੋਂ ਆ ਰਹੇ ਇੱਕ ਸੁਧਾਰ ਨੇ ਦਿਖਾਇਆ ਹੈ ਕਿ $\delta=0.014$ ਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।)

ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਇਤਿਹਾਸ ਇਹ ਸਮਝਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਨਤੀਜਾ ਹੈਰਾਨੀਜਨਕ ਕਿਉਂ ਹੈ। ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਜਾਣੀ-ਪਛਾਣੀ ਹੇਠਲੀ ਸੀਮਾ ਏਰਡੋਸ ਦੀ 1946 ਦੀ ਮੂਲ ਬਣਤਰ ਤੋਂ ਲੈ ਕੇ ਲਗਭਗ ਅਣਬਦਲੀ ਰਹੀ ਸੀ। ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਉੱਪਰੀ ਸੀਮਾ, $O(n^{4/3})$, 1984 ਵਿੱਚ ਸਪੈਂਸਰ, ਸੈਮੇਰੇਡੀ, ਅਤੇ ਟ੍ਰੋਟਰ ਦੇ ਕੰਮ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ, ਅਤੇ ਬਾਅਦ ਦੇ ਸੁਧਾਰਾਂ ਅਤੇ ਸੈਕੇਲੀ, ਕੈਟਜ਼ ਅਤੇ ਸਿਲੀਅਰ, ਪਾਕ, ਰਾਜ਼, ਅਤੇ ਸੋਲੀਮੋਸੀ ਅਤੇ ਹੋਰਾਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸੰਰਚਨਾਤਮਕ ਕੰਮ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ, ਇਹ ਉੱਪਰੀ ਸੀਮਾ ਮੂਲ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਣਬਦਲੀ ਰਹੀ ਹੈ। ਇਸ ਅਨੁਮਾਨ ਦੇ ਪੱਖ ਵਿੱਚ ਸਬੂਤ ਵਜੋਂ, ਮਾਤੂਸ਼ੇਕ ਅਤੇ ਐਲਨ-ਬੂਸਿਚ-ਸੌਅਰਮੈਨ ਨੇ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਗੈਰ-ਯੂਕਲੀਡੀ ਦੂਰੀਆਂ ਨਾਲ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ, ਅਤੇ ਇਹ ਸਾਬਤ ਕੀਤਾ ਕਿ ਇਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ "ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ" ਗੈਰ-ਯੂਕਲੀਡੀ ਦੂਰੀਆਂ ਕਿਸੇ ਨਾ ਕਿਸੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇਸ ਅਨੁਮਾਨ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਹੈਰਾਨੀ ਦੀ ਗੱਲ ਹੈ ਕਿ ਇਸ ਬਣਤਰ ਦੇ ਮੁੱਖ ਤੱਤ ਗਣਿਤ ਦੇ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਵੱਖਰੇ ਹਿੱਸੇ ਤੋਂ ਆਉਂਦੇ ਹਨ ਜਿਸਨੂੰ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਸੰਖਿਆ ਸਿਧਾਂਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਸੰਖਿਆ ਖੇਤਰਾਂ ਵਜੋਂ ਜਾਣੀਆਂ ਜਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੀਆਂ ਵਿਸਥਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਵਰਗੀਆਂ ਧਾਰਣਾਵਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਉੱਚ ਪੱਧਰ 'ਤੇ ਇਹ ਸਬੂਤ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਵਾਲੇ ਜਿਆਮਿਤੀ ਵਿਚਾਰ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉਸਨੂੰ ਅਣਕਿਆਸੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਧੱਕਦਾ ਹੈ।

ਏਰਡੋਸ ਦੀ ਮੂਲ ਹੇਠਲੀ ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਗੌਸੀਅਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਰਾਹੀਂ ਸਮਝਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: $a+bi$ ਰੂਪ ਵਾਲੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ $a$ ਅਤੇ $b$ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹਨ ਅਤੇ $i$, $-1$ ਦਾ ਵਰਗਮੂਲ ਹੈ। ਗੌਸੀਅਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਆਮ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਵਿਸਥਾਰ ਕਰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਾਂਗ ਹੀ ਮੁੱਢਲੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਲੱਖਣ ਗੁਣਨਖੰਡਨ ਵਰਗੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਰੱਖਦੇ ਹਨ। ਆਮ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਜਾਂ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਅਜਿਹੇ ਵਿਸਥਾਰਾਂ ਨੂੰ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਸੰਖਿਆ ਖੇਤਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨਵਾਂ ਤਰਕ ਗੌਸੀਅਨ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਜਗ੍ਹਾ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਸੰਖਿਆ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀਆਂ ਹੋਰ ਜਟਿਲ ਸਧਾਰਣਕਰਨਾਂ ਲਿਆਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਅਮੀਰ ਸਮਰੂਪਤਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਕਾਫ਼ੀ ਵੱਧ ਇਕਾਈ-ਲੰਬਾਈ ਵਾਲੇ ਅੰਤਰ ਪੈਦਾ ਕਰ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।

ਸਟੀਕ ਤਰਕ ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇਨਫਿਨਿਟ ਕਲਾਸ ਫੀਲਡ ਟਾਵਰਜ਼ ਅਤੇ ਗੋਲੋਡ–ਸ਼ਾਫਾਰੇਵਿਚ ਸਿਧਾਂਤ ਵਰਗੇ ਸਾਧਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ ਕਿ ਤਰਕ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਸੰਖਿਆ ਖੇਤਰ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਹਨ। ਇਹ ਵਿਚਾਰ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਸੰਖਿਆ ਸਿਧਾਂਤਕਾਰਾਂ ਲਈ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਸਨ, ਪਰ ਇਹ ਵੱਡੀ ਹੈਰਾਨੀ ਦੀ ਗੱਲ ਸੀ ਕਿ ਇਨ੍ਹਾਂ ਧਾਰਣਾਵਾਂ ਦੇ ਯੂਕਲੀਡੀ ਸਮਤਲ ਦੇ ਜਿਆਮਿਤੀ ਸਵਾਲਾਂ ਲਈ ਨਤੀਜੇ ਨਿਕਲਦੇ ਹਨ।

ਇਹ ਨਤੀਜਾ AI ਅਤੇ ਗਣਿਤ ਦੇ ਆਪਸੀ ਤਾਲਮੇਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਪਲ ਹੈ: ਇੱਕ AI ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੇ ਖੁਦਮੁਖਤਿਆਰ ਢੰਗ ਨਾਲ ਸਰਗਰਮ ਖੇਤਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਤੋਂ ਚੱਲ ਰਹੀ ਅਣਸੁਲਝੀ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਇਹ AI ਅਤੇ ਮਨੁੱਖੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਨਵੇਂ ਕਿਸਮ ਦੇ ਸਹਿਯੋਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਝਲਕ ਵੀ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਬਾਹਰੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਦਾ ਸਹਿਯੋਗੀ ਕੰਮ ਇਕੱਲੇ ਮੂਲ ਹੱਲ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਵਿਆਪਕ ਤਸਵੀਰ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਥਾਮਸ ਬਲੂਮ ਆਪਣੇ ਸਹਿਯੋਗੀ ਨੋਟ ਵਿੱਚ ਲਿਖਦੇ ਹਨ:

“ਜਦੋਂ ਮੈਂ AI-ਤਿਆਰ ਸਬੂਤ ਦੀ ਮਹੱਤਤਾ ਅਤੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਦਾ ਅੰਕਲਨ ਕਰਦਾ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਮੈਂ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਵਾਲ ਪੁੱਛਦਾ ਹਾਂ: ਕੀ ਇਸ ਨੇ ਸਾਨੂੰ ਸਮੱਸਿਆ ਬਾਰੇ ਕੁਝ ਨਵਾਂ ਸਿਖਾਇਆ ਹੈ? ਕੀ ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਵਿਛਿੰਨ ਜਿਆਮਿਤੀ ਨੂੰ ਹੋਰ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਮਝਦੇ ਹਾਂ? ਮੇਰੇ ਖਿਆਲ ਵਿੱਚ ਜਵਾਬ ਸੰਯਮਿਤ ਹਾਂ ਹੈ: ਇਹ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਸਵਾਲਾਂ ਬਾਰੇ ਸੰਖਿਆ-ਸਿਧਾਂਤਕ ਬਣਤਰਾਂ ਕੋਲ ਸਾਡੇ ਅਨੁਮਾਨ ਨਾਲੋਂ ਕਾਫ਼ੀ ਵੱਧ ਕਹਿਣ ਲਈ ਹੈ; ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਲੋੜੀਂਦਾ ਸੰਖਿਆ ਸਿਧਾਂਤ ਬਹੁਤ ਡੂੰਘਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਸ਼ੱਕ ਨਹੀਂ ਕਿ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਮਹੀਨਿਆਂ ਵਿੱਚ ਕਈ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਸੰਖਿਆ ਸਿਧਾਂਤਕਾਰ ਵਿਛਿੰਨ ਜਿਆਮਿਤੀ ਦੀਆਂ ਹੋਰ ਅਣਸੁਲਝੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਨਾਲ ਦੇਖਣਗੇ।”

ਇਸ ਹੱਲ ਵੱਲੋਂ ਉਜਾਗਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਸੰਖਿਆ ਸਿਧਾਂਤ ਅਤੇ ਵਿਛਿੰਨ ਜਿਆਮਿਤੀ ਵਿਚਕਾਰ ਅਣਕਿਆਸਿਆ ਸੰਬੰਧ ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਉਲੇਖਣਯੋਗ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੀਆਂ ਗੱਲਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ। ਇਹ ਨਾ ਸਿਰਫ਼ ਕਿਸੇ ਖ਼ਾਸ ਅਨੁਮਾਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਬਲਕਿ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਨੂੰ ਇਸ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੋਰ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੀ ਖੋਜ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਲਈ ਪੁਲ ਵੀ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਬਲੂਮ ਇੱਕ ਹੋਰ ਵਿਆਪਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੱਲ ਵੀ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦੇ ਹਨ:

“ਗਿਆਨ ਦੀਆਂ ਹੱਦਾਂ ਬਹੁਤ ਉਭੜ-ਖਾਬੜ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਸ਼ੱਕ ਨਹੀਂ ਕਿ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਮਹੀਨਿਆਂ ਅਤੇ ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਗਣਿਤ ਦੇ ਕਈ ਹੋਰ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਵੀ ਅਜਿਹੀਆਂ ਹੀ ਸਫ਼ਲਤਾਵਾਂ ਦੇਖਣ ਨੂੰ ਮਿਲਣਗੀਆਂ, ਜਿੱਥੇ ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਤੋਂ ਅਣਸੁਲਝੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦਾ ਹੱਲ AI ਵੱਲੋਂ ਅਣਕਿਆਸੇ ਸੰਬੰਧ ਉਜਾਗਰ ਕਰਕੇ ਅਤੇ ਮੌਜੂਦਾ ਤਕਨੀਕੀ ਢਾਂਚੇ ਨੂੰ ਉਸਦੀ ਸੀਮਾ ਤੱਕ ਧੱਕ ਕੇ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇਗਾ। AI ਸਾਨੂੰ ਗਣਿਤ ਦੇ ਉਸ ਵਿਸ਼ਾਲ ਇਮਾਰਤ ਦੀ ਵਧੇਰੇ ਬਾਰੀਕੀ ਨਾਲ ਖੋਜ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਸਦੀਆਂ ਦੌਰਾਨ ਉਸਾਰਿਆ ਹੈ; ਕੌਣ ਜਾਣਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹੋਰ ਕਿਹੜੇ ਅਣਡਿੱਠੇ ਚਮਤਕਾਰ ਪਰਦੇ ਪਿੱਛੇ ਸਾਡੀ ਉਡੀਕ ਕਰ ਰਹੇ ਹਨ?”

ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਉਮੀਦਜਨਕ ਉਦਾਹਰਣ ਦਿੰਦਾ ਹੈ: AI ਸਿਰਫ਼ ਹੱਲ ਹੀ ਨਹੀਂ, ਸਗੋਂ ਅਜਿਹੀ ਗਣਿਤੀ ਖੋਜ ਵਿੱਚ ਵੀ ਯੋਗਦਾਨ ਪਾ ਰਹੀ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਮਹੱਤਤਾ ਬਾਅਦ ਦੀ ਮਨੁੱਖੀ ਸਮਝ ਰਾਹੀਂ ਹੋਰ ਸਪਸ਼ਟ ਅਤੇ ਧਨਾਢ ਬਣਦੀ ਹੈ।

ਇਸ ਸਿੱਖਿਆ ਦਾ ਮਹੱਤਵ ਇਸ ਖਾਸ ਨਤੀਜੇ ਨਾਲੋਂ ਕਿਤੇ ਵੱਡਾ ਹੈ। ਹੋਰ ਵਧੀਆ ਗਣਿਤੀ ਰੀਜ਼ਨਿੰਗ AI ਨੂੰ ਇੱਕ ਹੋਰ ਮਜ਼ਬੂਤ ਖੋਜ ਸਾਥੀ ਬਣਾ ਸਕਦੀ ਹੈ: ਅਜਿਹਾ ਕੁਝ ਜੋ ਮੁਸ਼ਕਲ ਵਿਚਾਰ-ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠਾ ਰੱਖ ਸਕੇ, ਗਿਆਨ ਦੇ ਦੂਰਲੇ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਚਾਰ ਜੋੜ ਸਕੇ, ਉਹ ਉਮੀਦ-ਜਨਕ ਰਸਤੇ ਸਾਹਮਣੇ ਲਿਆ ਸਕੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਗਿਆਰਾਂ ਨੇ ਸ਼ਾਇਦ ਤਰਜੀਹ ਨਾ ਦਿੱਤੀ ਹੋਵੇ, ਅਤੇ ਖੋਜਕਰਤਾਵਾਂ ਨੂੰ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ 'ਤੇ ਤਰੱਕੀ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰ ਸਕੇ ਜੋ ਨਹੀਂ ਤਾਂ ਬਹੁਤ ਜਟਿਲ ਜਾਂ ਬਹੁਤ ਸਮਾਂ ਲੈਣ ਵਾਲੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਇਹ ਸਮਰੱਥਾਵਾਂ ਗਣਿਤ ਤੋਂ ਪਰੇ ਵੀ ਮਹੱਤਵ ਰੱਖਦੀਆਂ ਹਨ। ਜੇ ਕੋਈ ਮਾਡਲ ਇੱਕ ਜਟਿਲ ਤਰਕ ਨੂੰ ਸੰਗਤ ਰੱਖ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਗਿਆਨ ਦੇ ਦੂਰਲੇ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਚਾਰ ਜੋੜ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਜਿਹਾ ਕੰਮ ਤਿਆਰ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਗਿਆਰ ਜਾਂਚ 'ਤੇ ਖਰਾ ਉਤਰਦਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਹ ਜੀਵ ਵਿਗਿਆਨ, ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ, ਪਦਾਰਥ ਵਿਗਿਆਨ, ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ, ਅਤੇ ਚਿਕਿਤਸਾ ਵਿੱਚ ਵੀ ਲਾਭਕਾਰੀ ਯੋਗਤਾਵਾਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਹ ਹੋਰ ਸਵੈਚਾਲਿਤ ਖੋਜ ਵੱਲ ਸਾਡੇ ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਰਸਤੇ ਦਾ ਹਿੱਸਾ ਹਨ: ਅਜਿਹੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਜੋ ਵਿਗਿਆਨੀਆਂ ਅਤੇ ਇੰਜੀਨੀਅਰਾਂ ਨੂੰ ਹੋਰ ਵਿਚਾਰ ਖੰਗਾਲਣ ਅਤੇ ਹੋਰ ਮੁਸ਼ਕਲ ਤਕਨੀਕੀ ਸਵਾਲਾਂ ਦਾ ਪਿੱਛਾ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰ ਸਕਣ।

AI ਹੁਣ ਖੋਜ ਦੇ ਰਚਨਾਤਮਕ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਤੌਰ 'ਤੇ ਖੁਦ AI ਖੋਜ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਗੰਭੀਰ ਭੂਮਿਕਾ ਨਿਭਾਉਣ ਵਾਲੀ ਹੈ। ਭਾਵੇਂ ਇਹ ਤਰੱਕੀ ਅਣਉਮੀਦ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਫਿਰ ਵੀ ਇਹ AI ਵਿਕਾਸ ਦੇ ਇਸ ਅਗਲੇ ਪੜਾਅ ਨੂੰ ਸਮਝਣ, ਬਹੁਤ ਬੁੱਧੀਮਾਨ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਨੂੰ ਮਨੁੱਖੀ ਹਿੱਤਾਂ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਬਣਾਉਣ ਦੀਆਂ ਚੁਣੌਤੀਆਂ, ਅਤੇ ਮਨੁੱਖ-AI ਸਹਿਯੋਗ ਦੇ ਭਵਿੱਖ ਬਾਰੇ ਸਾਡੀ ਤੁਰੰਤ ਲੋੜ ਦੀ ਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਹੋਰ ਮਜ਼ਬੂਤ ਕਰਦੀ ਹੈ।

ਉਹ ਭਵਿੱਖ ਅਜੇ ਵੀ ਮਨੁੱਖੀ ਫ਼ੈਸਲੇ 'ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਮਾਹਰਤਾ ਦੀ ਕੀਮਤ ਘਟਦੀ ਨਹੀਂ, ਵੱਧਦੀ ਹੈ। AI ਖੋਜ, ਸੁਝਾਅ ਅਤੇ ਪੁਸ਼ਟੀ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਲੋਕ ਉਹ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਚੁਣਦੇ ਹਨ ਜੋ ਮਹੱਤਵ ਰੱਖਦੀਆਂ ਹਨ, ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਫ਼ੈਸਲਾ ਕਰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਅਗਲੇ ਕਿਹੜੇ ਸਵਾਲਾਂ ਦਾ ਪਿੱਛਾ ਕਰਨਾ ਹੈ।