गणित आणि सैद्धांतिक संगणकशास्त्रातील दहा प्रगती

शोधांना गती देणारी साधने देऊन वैज्ञानिक आणि गणितज्ञांना सक्षम करणे हे आमचे उद्दिष्ट आहे. म्हणूनच आम्ही अलीकडेच शैक्षणिक संशोधकांसाठी ChatGPT⁠ हा उपक्रम जाहीर केला. याद्वारे 1,00,000 वैज्ञानिक आणि गणितज्ञांना आमच्या सर्वोत्तम ChatGPT मॉडेलचा विनामूल्य वापर करता येईल. विकासादरम्यान आम्ही अनुत्तरित संशोधन प्रश्नांवरही आमच्या मॉडेलचे मूल्यांकन करत आहोत.

मे महिन्यात, अप्रकाशित मॉडेलचे मूल्यांकन करताना सापडलेले एर्डश यांच्या एकक-अंतर अनुमानाचे कृत्रिम बुद्धिमत्तेने तयार केलेले खंडन⁠ आम्ही प्रसिद्ध केले. या कामामुळे गणित आणि सैद्धांतिक संगणकशास्त्रात यापुढील संशोधनाला आधीच चालना मिळाली आहे¹. आज आम्ही दहा निष्कर्षांचा संच प्रसिद्ध करत आहोत. यांपैकी प्रत्येक निष्कर्ष दीर्घकाळ अनुत्तरित असलेला प्रश्न सोडवतो किंवा तो सोडवण्याच्या दिशेने मोठी प्रगती करतो. या समस्यांमध्ये उच्च-मितीय भूमिती, कोडिंग सिद्धांत, अंकगणितीय सर्किट जटिलता, समूह सिद्धांत, ऑपरेटर बीजगणित, क्वांटम जटिलता, लॅटिस क्रिप्टोग्राफी आणि एक्सट्रीमल कॉम्बिनेटोरिक्स यांचा समावेश आहे. हे सर्व प्रश्न त्यांच्या संबंधित गणितीय समुदायांसाठी अत्यंत महत्त्वाचे आहेत आणि त्यांपैकी अनेकांना संपूर्ण गणितक्षेत्राच्या दृष्टीने व्यापक महत्त्व आहे.

पुढील प्रश्नांसाठी आम्ही नवे निष्कर्ष सादर करत आहोत. हे निष्कर्ष आमच्या पुढील प्रमुख मॉडेल, Astra च्या अंतर्गत आवृत्तीने साध्य केले. या प्रश्नांची उत्तरे शोधण्यासाठी लागलेल्या एकूण टोकनची किंमत Sol API च्या दरांनुसार सुमारे $2,000 झाली असती. त्यानंतर याच मॉडेलच्या मदतीने मानवी संशोधकांनी या युक्तिवादांची संशोधन निबंधांच्या रूपात मांडणी केली. त्यानंतर मॉडेलने प्रत्येक युक्तिवादाचे Lean प्रमाणपत्रात⁠(नवीन विंडोमध्ये उघडेल) औपचारीकरण केले. प्रत्येक उत्तरासाठी मॉडेलने आपल्या विचारप्रक्रियेचे केलेले निवेदनही आम्ही प्रसिद्ध करत आहोत.

1. उच्च-मितीय गोलांची मांडणी. कोहन–एल्कीज उंबरठ्यापर्यंत गोलांच्या मांडणीच्या घनतेवर नवीनउच्च मर्यादा.
2. बायनरी आणि स्फेरिकल कोड: कोणत्याही निर्धारित किमान अंतरावर बायनरी कोडच्या कमाल आकारावर घातांकीय सुधारित मर्यादा, उच्च-मितीय स्फेरिकल कोडसाठी अनुरूप परिणामांसह.
3. नॉन-सोफिक गट. नॉन-सोफिक गटांचे अस्तित्व प्रस्थापित करणारी एक रचना, जी गट सिद्धांतातील एका केंद्रीय अनुत्तरित प्रश्नाला संबोधित करते.
4. कॉन्स यांचे दृढता अनुमान. विशिष्ट समूह त्यांच्या फॉन न्यूमन बीजगणितांद्वारे एकमेवरीत्या निर्धारित होतात, या दीर्घकालीन अनुमानाचे खंडन.
5. अंकगणितीय सर्किटची जटिलता. अंकगणितीय सर्किट आणि सूत्रांचा वापर करून परमनंटची गणना करण्यासाठी नवीन निम्न मर्यादा, ज्यामध्ये n⁴/log n कोटीच्या अंकगणितीय-सूत्र निम्न मर्यादेचा समावेश आहे.
6. क्वांटम समांतर पुनरावृत्ती. सर्वसाधारण दोन-खेळाडूंच्या क्वांटम खेळांसाठी एक घातीय समांतर पुनरावृत्ती प्रमेय, जे अभिजात जटिलता सिद्धांतातील एका मूलभूत तत्त्वाचा विस्तार करते.
7. सर्वात जवळच्या सदिशाची समस्या. सर्वात जवळच्या सदिशाच्या समस्येसाठी बहुपदी-घटक सन्निकटनाची काठिण्य पातळी, जो उत्तर-क्वांटम क्रिप्टोग्राफीशी संबंधित एक पायाभूत जालक प्रश्न आहे.
8. एरहार्ट यांचे घनफळ अनुमान. ज्या बहिर्वक्र आकाराचा गुरुत्वमध्य हा त्याचा एकमेव अंतर्गत जालकबिंदू आहे, त्याचे प्रत्येक मितीतील कमाल संभाव्य घनफळ निर्धारित करणे.
9. बहुरंगी रॅम्से संख्या. बहुरंगी त्रिकोणी रॅम्से संख्यांसाठी एक सुपरएक्सपोनेंशियल निम्न मर्यादा, एर्डोस समस्या 183 चे निराकरण.
10. चरम संख्या अनुमाने. चरम आलेख सिद्धांतातील संहतता आणि अपह्रास अनुमानांवरील निष्कर्ष, जे एर्डश प्रश्न 146 आणि 180 सोडवतात.

गणितीय संशोधनात योगदान देऊ शकणाऱ्या प्रणालींच्या उदयामुळे असे प्रश्न निर्माण होतात, ज्यांची उत्तरे एखादी तंत्रज्ञान कंपनी एकटी देऊ शकत नाही. गणितातील कृत्रिम बुद्धिमत्तेच्या भूमिकेबद्दल अनेक मते आहेत. तिच्या परिणामांविषयी चिंता व्यक्त करणाऱ्यांचा, त्यात कृत्रिम बुद्धिमत्ता आणि गणितावरील लायडन घोषणापत्रावर⁠(नवीन विंडोमध्ये उघडेल) स्वाक्षरी करणाऱ्यांचाही समावेश आहे, आम्ही मनापासून आदर करतो आणि त्यांची भूमिका समजून घेतो. एखादा निष्कर्ष कसा तयार झाला हे श्रेयांकनात प्रामाणिकपणे दिसले पाहिजे, असे आम्हाला वाटते. कृत्रिम बुद्धिमत्ता प्रणालीने पूर्णपणे तयार केलेल्या सिद्धतेचे लेखकत्व मानवाकडे असल्याचा दावा केल्यास प्रणालीचे योगदान आणि खऱ्या मानवी बौद्धिक कार्याचे स्वरूप, या दोन्हींचे चुकीचे चित्र उभे राहील. आम्ही संशोधन निबंध तयार करण्यात आणि Lean मध्ये सिद्धतांचे औपचारीकरण करण्यात मदत केली आणि त्यांच्या अचूकतेची जबाबदारी आम्ही घेतो. मात्र, मूळ गणितीय युक्तिवाद आमच्या प्रणालीने तयार केले. गणितीय समुदाय या निष्कर्षांचा सखोल विचार करेल, त्यांना योग्य संदर्भात पाहील आणि त्यामागील संकल्पनांना नव्या संशोधन व शोधांद्वारे मूर्त रूप देईल, अशी आम्हाला आशा आहे.

कृत्रिम बुद्धिमत्ता प्रणाली अधिक प्रगत संशोधन सहकारी बनत असताना त्यांचा व्यापक वापर सुनिश्चित करणे अत्यावश्यक आहे. या परिवर्तनशील युगात वैज्ञानिक आणि गणितज्ञ आपल्या क्षेत्रांचे भविष्य समजून घेत असताना आणि ते घडवत असताना त्यांना आधार देण्यासाठी हे मूलभूत आहे.