नाव्हिए–स्टोक्स मिलेनियम पुरस्कार समस्येविषयी

मिलेनियम पुरस्कार समस्यांपैकी एक असलेल्या नाव्हिए–स्टोक्स अस्तित्व आणि गुळगुळीतपणा समस्येवरील उपाय आम्ही सामायिक करत आहोत. OpenAI च्या अंतर्गत प्रणालीने तयार केलेला हा पुरावा दाखवतो की द्रवाच्या गतीचे वर्णन करणाऱ्या नाव्हिए–स्टोक्स समीकरणांच्या गतिकीत मर्यादित वेळेत विलक्षणता निर्माण होऊ शकते. आम्ही पुराव्याचे विवेचन आणि त्याचे Lean मधील औपचारिकीकरण, दोन्ही सामायिक करत आहोत.

मिलेनियम पुरस्कार समस्या⁠(नवीन विंडोमध्ये उघडेल) या गणितातील अत्याधुनिक संशोधनासमोरील काही सर्वांत गहन प्रश्न आहेत. त्रिमितीय द्रवाची सुरळीत गती खंडित होऊ शकते का, हा प्रश्न सुमारे 90 वर्षांपासून अनुत्तरित आहे.

संपूर्ण मानवजातीच्या हितासाठी संशोधन आणि तंत्रज्ञान पुढे नेण्यास वैज्ञानिकांना सक्षम करणे, हे आमच्या कार्याचे एक प्रमुख उद्दिष्ट आहे. नाव्हिए–स्टोक्स समस्या सोडवण्यासाठी आम्ही GPT‑6 Astra पेक्षा लक्षणीयरीत्या अधिक सक्षम असलेले अंतर्गत मॉडेल वापरले. कृत्रिम बुद्धिमत्तेच्या प्रगतीचा वेग आणि आगामी मॉडेल्सकडून काय अपेक्षा ठेवाव्यात, याविषयी जगाला माहिती देणे महत्त्वाचे आहे, असे आम्हाला वाटते.

द्रव कसे वाहतात याचे वर्णन करण्यासाठी नाव्हिए–स्टोक्स समीकरणे न्यूटनचा गतीचा दुसरा नियम (“F=ma”) वापरतात. महत्त्वाचे म्हणजे, प्रत्येक रेणूचा स्वतंत्रपणे मागोवा घेण्याऐवजी ही समीकरणे द्रवाला एक अखंड माध्यम मानतात. ही समीकरणे विमानांची रचना, हवामानाचा अंदाज आणि रक्तप्रवाहाचा अभ्यास यांसाठी वापरली जातात.

द्रवाचे अखंड माध्यम म्हणून केलेले सन्निकटन खंडित होऊ शकते का, हा या गतिशील समीकरणांसमोरील एक मूलभूत अनुत्तरित प्रश्न आहे. विशेषतः, स्थिर घनतेच्या त्रिमितीय असंपीड्य द्रवाची गती सुरळीतपणे सुरू झाली, तरी नाव्हिए–स्टोक्स समीकरणांत “विलक्षणता” निर्माण होऊ शकते का? येथे विलक्षणता म्हणजे गतिकीमुळे मर्यादित वेळेत द्रवाचा वेग कोणत्याही मर्यादेपलीकडे वाढणे. गती सुरळीत करण्याकडे कल असणारी श्यानता उपस्थित असूनही अशी विलक्षणता निर्माण व्हावी लागेल. वास्तविक द्रव अमर्याद वेगाने वाहू शकत नसल्याने, असे घडणे म्हणजे समीकरणांकडून केले जाणारे द्रवाचे प्रतिरूपण खंडित झाल्याचे लक्षण ठरेल. त्यानंतर प्रणालीचे प्रतिरूपण सुरू ठेवण्यासाठी प्रत्येक कणाच्या वर्तनाचा स्वतंत्रपणे मागोवा घ्यावा लागेल.

या समीकरणांची मुळे क्लॉद-लुई नाव्हिए आणि जॉर्ज गॅब्रिएल स्टोक्स यांच्या एकोणिसाव्या शतकातील कार्यात आहेत. 1934 मध्ये जाँ लरे यांनी व्यापक अर्थाने उपाय अस्तित्वात असल्याचे सिद्ध केले, पण ते नेहमी गुळगुळीत राहतात का, हा एक प्रमुख अनुत्तरित प्रश्न बनला. 2000 मध्ये क्ले मॅथेमॅटिक्स इन्स्टिट्यूटने नाव्हिए–स्टोक्स अस्तित्व आणि गुळगुळीतपणा समस्येचा सात मिलेनियम पुरस्कार समस्यांमध्ये समावेश केला.

सुरुवातीला स्थिर आणि गुळगुळीत असलेल्या द्रवात मर्यादित वेळेत विलक्षणता निर्माण होऊ शकते, याचा विश्लेषणात्मक पुरावा आणि Lean औपचारिकीकरण आमच्या प्रणालीने तयार केले. द्रवावर गुळगुळीत बल लावले जाते आणि स्थिर अवस्थेपासून विलक्षणता निर्माण होईपर्यंतच्या संपूर्ण गतिकीत त्याची ऊर्जा मर्यादित राहते. मिलेनियम पुरस्काराच्या अधिकृत मांडणीत⁠(नवीन विंडोमध्ये उघडेल) “C” विधानासह “D” विधानही प्रस्थापित करून हा उपाय नाव्हिए–स्टोक्स मिलेनियम पुरस्कार समस्या सोडवतो.

हा उपाय म्हणजे भोवरा—फिरणारा द्रवावर्त—जो आतल्या दिशेने सर्पिलाकार फिरतो आणि स्पॅगेटीसारखा अधिकाधिक लांब होत जातो. हा मध्यवर्ती भाग आकुंचन पावताना वेगवान होतो, पण भौतिकशास्त्राच्या नियमांनुसार त्याची ऊर्जा मर्यादितच राहते. उदाहरणार्थ, हाताने अमर्याद बल घालण्याऐवजी द्रवाच्या स्वतःच्या गतीतून समीकरणांनी हे खंडन निर्माण करणे, हे तांत्रिक आव्हान आहे. अधिक गणिती भाषेत सांगायचे तर, नाव्हिए–स्टोक्स समीकरणांतील गतीचे वर्णन करणारी पदे—त्वरण, दाब प्रवणता, संवेग हस्तांतरण आणि श्यानता—एकाच वेळी मोठी झाली पाहिजेत आणि अचूक रीतीने परस्परांना रद्दही केली पाहिजेत. या सूक्ष्म समतोलामुळे द्रवाचा वेग अमर्याद वाढत असतानाही बाह्य बल गुळगुळीत राहते.

28 ऑगस्टपासून आम्ही एका नव्या अंतर्गत मॉडेलला प्रशिक्षण देत आहोत. गणितासह आमच्या निकष चाचण्यांमध्ये त्याने अभूतपूर्व कामगिरी दाखवली आहे. या मॉडेलचे प्रशिक्षण सुरू असून त्याची कामगिरी सातत्याने सुधारत आहे.

मंगळवार, 1 सप्टेंबर रोजी दोन मिलेनियम पुरस्कार समस्या सुटल्याच्या अफवा आमच्या कानावर आल्या. या अफवा आणि आमच्या अंतर्गत मॉडेलच्या कामगिरीतील मोठी झेप यांपासून प्रेरणा घेऊन, सर्व अनुत्तरित मिलेनियम पुरस्कार समस्या आणि इतर काही मोठा प्रभाव पाडू शकणाऱ्या समस्यांवर त्याचे मूल्यमापन करण्याचा उपक्रम आम्ही सुरू केला.

आमच्या अंतर्गत मॉडेलवर चालणाऱ्या आणि समन्वयाने काम करणाऱ्या एजंट्सची प्रणाली आम्ही वापरली. या एजंट्सना इंटरनेटची कॅश केलेली प्रत वाचणे आणि कॉम्प्यूटरचा कोड चालवणे यांसारखी साधने उपलब्ध होती. एजंट्सना गटांत विभागले होते आणि प्रत्येक गटातील एजंट परस्परांशी संवाद साधू शकत होते. गटांचे आकार वेगवेगळे होते. नाव्हिए–स्टोक्स समस्या सोडवणाऱ्या गटात एकाच वेळी काम करणारे सुमारे 10,000 एजंट होते. आमच्या सर्व अत्याधुनिक मॉडेल मूल्यमापनांसाठी वापरले जाणारे देखरेख आणि विलगीकरणासह तेच कठोर सुरक्षा उपाय आम्ही कायम राखले.

प्रत्येक समस्येसाठी आम्ही एजंट्सच्या वेगवेगळ्या गटांना समस्येच्या सर्व रूपांचा समावेश करणाऱ्या विविध मांडण्या दिल्या. नाव्हिए–स्टोक्स समस्येसाठी आम्ही स्वतंत्र एजंट गटांना “A” आणि “B” रूपे सुचवली, ज्यांतून पुरावा मिळेल; तसेच “C” आणि “D” रूपे सुचवली, ज्यांतून खंडन मिळेल.

संपूर्ण मिलेनियम पुरस्कार समस्यांबरोबरच आम्ही आमच्या बहु-एजंट प्रणालीला काही “सोप्या” समस्या सोडवण्यासही सांगितले. श्यानतेचे पद काढून टाकलेल्या नाव्हिए–स्टोक्स समस्येच्या सीमेसाठीचा असाच एक विलक्षणता निर्माण होण्याचा प्रश्न त्यांपैकी एक होता. हा प्रश्न ऑयलर समीकरणांची नियमितता समस्या म्हणून ओळखला जातो. आमच्या एजंट्सनी तो सोडवून आम्हाला आश्चर्यचकित केले. त्यांनी सोडवलेले या प्रश्नाचे विशिष्ट रूप बलरहित होते, ज्यात द्रवावर कोणतेही बाह्य बल लावले जात नाही. ऑयलर नियमिततेचे आमचे खंडन तयार करण्यासाठी जवळपास 100 एजंट्सनी सुमारे 50 तास एकत्र काम केले¹.

ऑयलर समस्येचा उपाय पाहिल्यानंतर, पुढे काम करण्यासाठी नाव्हिए–स्टोक्स ही सर्वांत आशादायक समस्या आहे, असे आम्हाला वाटले. त्यामुळे आम्ही आमची संसाधने नाव्हिए–स्टोक्स समस्येसाठी समर्पित करण्याचा निर्णय घेतला. त्यासाठी आम्ही एजंट्सना इतर मिलेनियम समस्यांवरून हटवले आणि त्यांना ऑयलर समस्येचे निराकरण दिले. या प्रयत्नादरम्यान आमच्या अंतर्गत मॉडेलची अधिक प्रशिक्षण घेतलेली आवृत्ती उपलब्ध झाल्यावर आम्ही एजंट्सना त्या मॉडेलवर अपडेट केले.

आम्ही एजंट्सच्या विविध गटांना निरनिराळे दृष्टिकोन तपासून पाहण्यास प्रोत्साहित केले. काही काळानंतर प्रत्येक एजंट गटातील सर्वाधिक उपयुक्त अंतर्दृष्टी Codex वापरून एकत्र केली आणि गटांमध्ये विचारांची देवाणघेवाण घडवली. या पुढील सूचनांमध्ये एजंट्सनी स्वतः मिळवलेल्या मधल्या निष्कर्षांचा वापर केला गेला. नाव्हिए–स्टोक्स समस्येचा उपाय शोधणाऱ्या गटाला याच प्रकारे मार्गदर्शन करण्यात आले.

पहिले एजंट कार्यान्वित केल्यानंतर सुमारे 88 तासांनी, शनिवार, 5 सप्टेंबर रोजी एजंट्सना उपाय सापडला. GPT‑6 Astra द्वारे Lean औपचारिकीकरण आणि पडताळणी करण्यासाठी आणखी 17 तास लागले.

प्रयत्न केलेल्या सर्व समस्यांमध्ये एजंट्सनी 49 लाख संदेश पाठवले आणि सुमारे 300 अब्ज आउटपुट टोकन वापरली. नाव्हिए–स्टोक्स समस्या सोडवताना एजंट्सनी 27 लाख संदेश पाठवले आणि सुमारे 130 अब्ज आउटपुट टोकन वापरली.

लेव्हांट आलपोगे हे Anthropic चे कर्मचारी आणि ट्रिस्टान बकमास्टर हे NYU तील गणिताचे प्राध्यापक यांच्याशी संबंधित असल्याचे नंतर समजलेल्या एका अफवेनंतर, 1 सप्टेंबरला आमचा प्रयत्न सुरू झाला.² आमचा संपूर्ण प्रोजेक्ट आणि Lean पडताळणी पूर्ण झाल्यानंतर, म्हणजे 6 सप्टेंबरला, त्या अफवेवरून त्यांच्याकडेही नाव्हिए–स्टोक्स समस्येचा उपाय असल्याचे मानून आम्ही त्यांच्याशी संपर्क साधला. आमचे निष्कर्ष एकाच वेळी प्रसिद्ध करण्याचा आणि संयुक्त घोषणेत त्यांच्या कार्याचे प्राधान्य मान्य करण्याचा प्रस्ताव आम्ही दिला. तेव्हा आम्हाला समजले की त्यांनी Anthropic चे अंतर्गत मॉडेल वापरून बाह्य बल असलेली ऑयलर समस्या सोडवली होती. या चर्चांमध्ये आम्ही वापरलेल्या सर्व सूचना त्यांना पाहण्यासाठी उपलब्ध करून देण्याची आणि नंतर पुरावाही दाखवण्याची तयारी दर्शवली. बाह्य बल असलेल्या ऑयलर समस्येवरील त्यांच्या कार्याचे प्राधान्य आम्ही मान्य करतो आणि या उल्लेखनीय गणिती यशाबद्दल त्यांचे अभिनंदन करतो.

त्यांनी आपले कार्य सार्वजनिकरीत्या प्रसिद्ध करेपर्यंत आम्ही, म्हणजे संशोधक आणि एजंट्स यांनी, ते कोणत्याही माध्यमातून पाहिले नव्हते. विशेषतः, ही समस्या सोडवण्यासाठी कोणत्याही विशिष्ट वापरकर्त्याच्या माहितीमध्ये प्रवेश केला गेला नाही.

तपासणीनंतर आम्ही पुष्टी केली आहे की 8 सप्टेंबर 2026 रोजी झालेल्या या घोषणेच्या आणि प्रकाशित झालेल्या शोधनिबंधाच्या आधीच्या दोन महिन्यांतील बकमास्टर यांच्या Codex सूचनांचा, प्रशिक्षणासह कोणत्याही प्रकारे प्रणालीवर प्रभाव पडू शकला नसता. या निष्कर्षासाठी वापरलेले OpenAI चे अंतर्गत मॉडेल पूर्वप्रशिक्षित मॉडेलवर मोठ्या प्रमाणात रीइन्फोर्समेंट लर्निंग करून विकसित करण्यात आले. आमचे पुरावेही लक्षणीयरीत्या वेगळे आहेत. ऑयलर प्रकरणात आलपोगे आणि बकमास्टर यांनी बाह्य बलासह निष्कर्ष सिद्ध केला, तर OpenAI च्या प्रणालीने बाह्य बलाविना निष्कर्ष सिद्ध केला.

आमच्या कृत्रिम बुद्धिमत्ता मॉडेल्सची लक्षणीय प्रगती नोंदवणे, हा निष्कर्ष प्रसिद्ध करण्यामागील आमचा उद्देश आहे. या निष्कर्षासाठी मिलेनियम पुरस्कारावर दावा करण्याचा आमचा हेतू नाही.

हा महत्त्वाचा टप्पा गणितज्ञ आणि कृत्रिम बुद्धिमत्ता संशोधकांनी केलेल्या व्यापक कार्याचे प्रतिनिधित्व करतो. मात्र, हा शेवटचा टप्पा नसून कृत्रिम बुद्धिमत्तेच्या विकासातील प्रगतीचे या क्षणाचे चित्र आहे.

आता आपण कृत्रिम बुद्धिमत्तेच्या प्रगतीच्या पुढील पर्वात आहोत, असे आम्हाला वाटते⁠. आजचे निष्कर्ष याचा आणखी पुरावा देतात. हे मॉडेल समजून घेण्यावर आणि त्यातून मिळणारे ज्ञान वापरून क्षमतांमधील पुढील प्रगतीची दिशा व वेग ठरवण्यावर आम्ही लक्ष केंद्रित करत आहोत. नियंत्रित करता येतील, उत्तरदायी असतील आणि लोकांशी जोडलेल्या असतील अशा कृत्रिम बुद्धिमत्ता प्रणाली उभारणे, हे आमच्या प्रमुख उद्दिष्टांपैकी एक⁠ आहे. AGI चा संपूर्ण मानवजातीला लाभ व्हावा हे ध्येय पुढे नेताना त्यासाठी प्रगतीच्या वेगाबाबत अधिक विचारपूर्वक निर्णय घ्यावे लागू शकतात.