OpenAI च्या एका मॉडेलने विविक्त भूमितीतील एक मध्यवर्ती तर्क खोडून काढला आहे

जवळजवळ 80 वर्षांपासून गणितज्ञ एका भ्रामकपणे साध्या प्रश्नाचा अभ्यास करत आहेत: जर तुम्ही समतलावर $n$ बिंदू ठेवले, तर किती बिंदू-जोड्या नेमक्या $1$ अंतरावर असू शकतात?

ही समतलावरील एकक अंतराची समस्या आहे, जी प्रथम 1946 मध्ये पॉल एर्डॉश यांनी मांडली. संयोज्य भूमितीतील हा सर्वात परिचित प्रश्नांपैकी एक आहे, मांडायला सोपा आणि सोडवायला विलक्षण कठीण. 2005 मधील Brass, Moser, आणि Pach यांचे Research Problems in Discrete Geometry हे पुस्तक याला “संयोज्य भूमितीतील कदाचित सर्वात परिचित (आणि समजावायला सर्वात सोपी) समस्या” असे म्हणते. प्रिन्स्टनमधील अग्रगण्य संयोजनशास्त्रज्ञ नोगा अलोन याचे वर्णन “एर्डोश यांच्या आवडत्या समस्यांपैकी एक” असे करतात. हा प्रश्न सोडवण्यासाठी एर्डॉश यांनी तर रोख बक्षीसही देऊ केले होते.

आज आम्ही एकक-अंतर समस्येतील एक मोठी प्रगती सामायिक करत आहोत. एर्डोस यांच्या मूळ कार्यापासून, अशी एक प्रबळ धारणा राहिली आहे की, खाली दर्शविलेल्या ‘चौरसाकृती जाळी’ रचना या एकक-अंतरावरील जोड्यांची संख्या कमाल करण्यासाठी मूलतः इष्टतम होत्या. OpenAI च्या एका अंतर्गत मॉडेलने, बहुपदीय सुधारणा देणाऱ्या उदाहरणांचा एक अनंत संच सादर करून, हा दीर्घकाळ चालत आलेला अंदाज खोटा ठरवला आहे. या पुराव्याची बाह्य गणितज्ञांच्या एका गटाने पडताळणी केली आहे. त्यांनी एक पूरक शोधनिबंधही लिहिला आहे, ज्यामध्ये त्यांनी आपला युक्तिवाद स्पष्ट केला असून, या निष्कर्षाच्या महत्त्वाविषयीची अधिक पार्श्वभूमी आणि संदर्भही पुरवला आहे.

हा निकाल कसा सापडला यासाठीही तो उल्लेखनीय आहे. हा पुरावा गणितासाठी खास प्रशिक्षित केलेल्या, पुराव्यांच्या रणनीती शोधण्यासाठी संरचित केलेल्या, किंवा विशेषतः एकक-अंतर समस्येवर लक्ष्यित केलेल्या प्रणालीकडून नव्हे, तर एका नव्या सर्वसाधारण-उद्देशाच्या रीझनिंग मॉडेलमधून आला. प्रगत मॉडेल्स अत्याधुनिक संशोधनात योगदान देऊ शकतात का हे तपासण्याच्या व्यापक प्रयत्नाचा भाग म्हणून, आम्ही Erdős समस्यांच्या एका संग्रहावर त्याचे मूल्यमापन केले. या प्रकरणात, त्याने खुली समस्या सोडवणारा पुरावा तयार केला.

हा पुरावा गणित आणि AI समुदायांसाठी एक महत्त्वाचा मैलाचा दगड आहे. गणिताच्या एका उपक्षेत्राच्या केंद्रस्थानी असलेली एक प्रमुख खुली समस्या AI ने स्वायत्तपणे सोडवण्याची ही पहिलीच वेळ आहे. यातून या प्रणाली आता समर्थित करत असलेल्या रीझनिंगची खोलीही दिसून येते. गणित हे रीझनिंग पडताळणीसाठी एक विशेषतः स्पष्ट माध्यम पुरवते: यातील समस्या नेमक्या असतात, संभाव्य सिद्धतांची तपासणी करता येते आणि एखादा दीर्घ युक्तिवाद केवळ तेव्हाच ग्राह्य ठरतो, जेव्हा त्यातील रीझनिंग सुरुवातीपासून शेवटपर्यंत अखंडपणे टिकून राहते. समस्या ज्या पद्धतीने सोडवली गेली तीही उल्लेखनीय आहे. हा पुरावा बीजगणितीय संख्या सिद्धांतातील अनपेक्षित, परिष्कृत कल्पना एका प्राथमिक भूमितीय प्रश्नावर लागू करतो.

फील्ड्स पदक विजेते Tim Growers यांनी, या संशोधनाशी संबंधित एका पूरक शोधनिबंधात, या निष्कर्षाचे वर्णन "AI गणितातील एक मैलाचा दगड" असे केले आहे. आघाडीचे संख्याशास्त्रज्ञ Arul Shankar यांच्या मते, "माझ्या दृष्टीने, हा शोधनिबंध हे सिद्ध करतो की, सध्याचे AI मॉडेल्स हे मानवी गणितज्ञांसाठी –केवळ मदतनीस म्हणून काम करण्यापलीकडेही जातात ते स्वतःहून मौलिक आणि कल्पक कल्पना सुचवण्यास, तसेच त्या कल्पना प्रत्यक्षात आणून तडीस नेण्यासही सक्षम आहेत."

हा पुरावा येथे⁠(नवीन विंडोमध्ये उघडेल) उपलब्ध आहे. अग्रगण्य बाह्य गणितज्ञांचा सोबतचा लेख येथे⁠(नवीन विंडोमध्ये उघडेल) उपलब्ध आहे. मॉडेल च्या चेन-ऑफ-थॉट तुम्हाला येथे⁠(नवीन विंडोमध्ये उघडेल) मिळेल.

समतलावरील $n$ बिंदूंमध्ये एकक-अंतराच्या जोड्यांची शक्य तितकी सर्वाधिक संख्या $u(n)$ असू द्या. रेषीय वाढदर गाठणारी उदाहरणे तयार करणे सोपे आहे: $n$ बिंदू एका रेषेत ठेवल्यास $n-1$ जोड्या मिळतात, तर चौकोनी जाळ्यात सुमारे $2n$ जोड्या मिळतात. पूर्वीचे सर्वोत्तम ज्ञात बांधकाम, जे पुनर्मापित चौकोनी जाळ्यातून येते, प्रत्यक्षात याहून अधिक देते: स्थिरांक $C$ साठी $n^{1 + C / \log \log(n)}$. $\log \log(n)$ हे $n$ बरोबर अनंताकडे झुकत असल्याने, घातांकाशी जोडलेला अतिरिक्त पद $0$ कडे झुकतो, म्हणजे या रचना फक्त रेषीयपेक्षा किंचित जलद वाढ साध्य करतात. दशकानुदशके असा व्यापक समज होता की हा दर मूलत: शक्य तितका सर्वोत्तम आहे, आणि कोणतीही रचना चौकोनी जाळ्यापेक्षा लक्षणीय सुधारणा करू शकत नाही. तांत्रिक भाषेत, Erdős यांनी $n^{1+o(1)}$ अशी एक वरची मर्यादा मांडली होती, ज्यात अतिरिक्त $o(1)$ हे $n$ बरोबर $0$ कडे झुकणारे पद दर्शवते.

आमचा नवा निकाल हा तर्क खोडून काढतो. अधिक नेमकेपणाने सांगायचे तर, $n$ च्या अनंत अनेक मूल्यांसाठी हा पुरावा $n$ बिंदूंच्या अशा रचना तयार करतो ज्यात काही स्थिर घातांक $\delta > 0$ साठी किमान $n^{1+\delta}$ एकक-अंतर जोड्या असतात. (मूळ AI सिद्धतेमध्ये $\delta$ चे कोणतेही स्पष्ट मूल्य दिलेले नाही; तथापि, प्रिन्स्टनचे गणित प्राध्यापक विल सॉविन यांच्याकडून लवकरच प्रकाशित होणाऱ्या एका सुधारित आवृत्तीत असे दर्शवण्यात आले आहे की, $\delta=0.014$ असे मूल्य घेता येते.)

या समस्येचा इतिहास पाहिल्यास हा निकाल आश्चर्यकारक का आहे हे समजण्यास मदत होते. सर्वोत्तम ज्ञात खालची मर्यादा Erdős यांच्या 1946 मधील मूळ बांधकामानंतर जवळजवळ बदललेली नव्हती. सर्वोत्तम वरची मर्यादा, $O(n^{4/3})$, ही 1984 मधील Spencer, Szemerédi, आणि Trotter यांच्या कामापर्यंत जाते, आणि नंतर Székely, Katz आणि Silier, Pach, Raz, आणि Solymosi तसेच इतरांच्या परिष्करणांनंतर व संबंधित संरचनात्मक कामानंतरही ती वरची मर्यादा मूलत: बदललेली नाही. या तर्काच्या समर्थनार्थ पुरावा म्हणून, Matoušek आणि Alon-Bucić-Sauermann यांनी समतलातील गैर-युक्लिडीय अंतरांसह या समस्येचा अभ्यास केला आणि या गैर-युक्लिडीय अंतरांपैकी “बहुतेक” काही अर्थाने या तर्काचे पालन करतात हे सिद्ध केले.

आश्चर्याची गोष्ट म्हणजे, या रचनेचे मुख्य घटक गणिताच्या एका पूर्णपणे वेगळ्या भागातून आले आहेत, ज्याला बीजगणितीय संख्या सिद्धांत म्हणतात, आणि ज्यामध्ये बीजगणितीय संख्या क्षेत्र म्हणून ओळखल्या जाणाऱ्या पूर्णांकांच्या विस्तारांमधील अवयवीकरणासारख्या संकल्पनांचा अभ्यास केला जातो.

उच्च पातळीवर पाहता, हा पुरावा एका परिचित भूमितीय कल्पनेपासून सुरू होतो आणि तिला अनपेक्षित दिशेने पुढे नेतो.

Erdős यांची मूळ खालची मर्यादा Gaussian पूर्णांकांद्वारे समजता येते: $a+bi$ या रूपातील संख्या, जिथे $a$ आणि $b$ पूर्णांक आहेत आणि $i$ हे $-1$ चे वर्गमूळ आहे. Gaussian पूर्णांक हे सामान्य पूर्णांकांचा विस्तार करतात आणि त्यांच्याप्रमाणेच अभाज्यांमध्ये अद्वितीय गुणाकार-विभाजनासारखे गुणधर्म त्यांच्यात असतात. सामान्य पूर्णांक किंवा परिमेय संख्यांचे असे विस्तार बीजगणितीय संख्या क्षेत्रे म्हणून ओळखले जातात. नवा युक्तिवाद Gaussian पूर्णांकांच्या जागी बीजगणितीय संख्या सिद्धांतातील अधिक गुंतागुंतीच्या सामान्यीकरणांचा वापर करतो, ज्यांत अधिक समृद्ध सममिती असतात आणि त्या अधिक मोठ्या संख्येने एकक-लांबीचे फरक निर्माण करू शकतात.

या युक्तिवादात आवश्यक संख्या क्षेत्रे प्रत्यक्षात अस्तित्वात आहेत हे दाखवण्यासाठी अनंत class field towers आणि Golod–Shafarevich सिद्धांत यांसारखी साधने वापरली जातात. या कल्पना बीजगणितीय संख्या-सिद्धांतज्ञांना सुपरिचित होत्या; परंतु, या संकल्पनांचे युक्लिडियन प्रतलातील भूमितीय प्रश्नांवरही परिणाम होतात, ही बाब मात्र अत्यंत आश्चर्यकारक ठरली.

हा AI आणि गणित यांच्यातील परस्परसंवादातील एका महत्त्वपूर्ण क्षणाचे द्योतक आहे: एका AI प्रणालीने, सध्या अत्यंत सक्रिय असलेल्या एका क्षेत्राच्या केंद्रस्थानी असलेला, दीर्घकाळापासून अनिर्णित असलेला एक प्रश्न स्वतंत्रपणे सोडवला आहे. तो AI आणि मानवी गणितज्ञ यांच्यातील नव्या प्रकारच्या सहकार्याची सुरुवातीची झलकही देतो. या प्रकरणात, बाह्य गणितज्ञांचे सोबतचे काम मूळ समाधानापेक्षा लक्षणीय अधिक समृद्ध चित्र उभे करते.

Thomas Bloom यांनी सोबतच्या टिपणात लिहिल्याप्रमाणे:

“AI-निर्मित पुराव्याचे महत्त्व आणि प्रभाव यांचे मूल्यांकन करताना, मी स्वतःला एक प्रश्न विचारतो: यातून आपल्याला त्या समस्येबद्दल काहीतरी नवीन शिकायला मिळालं आहे का? आता आपल्याला डिस्क्रीट भूमिती अधिक चांगल्या प्रकारे समजली आहे का? मला वाटतं की याचं उत्तर काहीसं 'हो' असं आहे: यातून हे दिसून येतं की, या प्रकारच्या प्रश्नांबद्दल आपल्याला वाटत होतं त्यापेक्षा संख्याशास्त्रीय रचनांना खूप काही अधिक सांगायचं आहे; शिवाय, यासाठी आवश्यक असलेला संख्या सिद्धांत खूप सखोल असू शकतो. यात शंका नाही की, येत्या काही महिन्यांत अनेक बीजगणितीय संख्या सिद्धांतकार डिस्क्रीट भूमितीमधील इतर अनुत्तरित समस्यांचा बारकाईने अभ्यास करतील.”

उपायाने उघड केलेला बीजगणितीय संख्या सिद्धांत आणि विविक्त भूमिती यांतील अनपेक्षित संबंध हा या निकालाला उल्लेखनीय बनवणाऱ्या गोष्टींपैकी एक आहे. तो केवळ एखादा विशिष्ट तर्क निकाली काढत नाही, तर गणितज्ञांना पुढील संबंधित समस्यांचा शोध सुरू करण्यासाठी एक पूलही देऊ शकतो.

Bloom यांनी आणखी व्यापक शक्यतेकडेही निर्देश केला आहे:

“ज्ञानाच्या अत्याधुनिक फारच टोकदार असतात, आणि यात शंका नाही की येणारे महिने व वर्षे गणिताच्या अनेक इतर क्षेत्रांत अशाच यशांना साक्षी राहतील, जिथे दीर्घकाळ खुल्या असलेल्या समस्या AI अनपेक्षित संबंध उघड करून आणि विद्यमान तांत्रिक साधनसामग्रीला तिच्या मर्यादेपर्यंत नेऊन सोडवेल. शतकानुशतके आपण उभारलेल्या गणिताच्या विशाल रचनेचा अधिक पूर्णपणे शोध घेण्यास AI आपली मदत करत आहे; पडद्यामागे अजून कोणती अदृश्य चमत्कारे वाट पाहत आहेत?”

हा निकाल एक आशादायक उदाहरण देतो: AI केवळ समाधानच नव्हे, तर असे गणितीय शोधही देत आहे ज्यांचे महत्त्व पुढील मानवी समजुतीतून अधिक स्पष्ट आणि समृद्ध होते.

यातून मिळणारा धडा या विशिष्ट निकालापेक्षा मोठा आहे. उत्तम गणितीय रीझनिंगमुळे AI एक अधिक सक्षम संशोधन भागीदार बनू शकते: जे गुंतागुंतीच्या विचारधारांना एकत्र जोडू शकते, ज्ञानाच्या विविध क्षेत्रांतील कल्पनांना एकत्र आणू शकते, तज्ञांनी प्राधान्य न दिलेले आशादायक मार्ग समोर आणू शकते आणि ज्या समस्या सोडवण्यासाठी अन्यथा खूप गुंतागुंतीच्या किंवा वेळखाऊ ठरतील, अशा समस्यांवर संशोधकांना प्रगती करण्यास मदत करू शकते.

त्या क्षमता गणितापलीकडेही महत्त्वाच्या आहेत. जर एखादे मॉडेल गुंतागुंतीच्या युक्तिवादाला सुसंगत ठेवू शकत असेल, ज्ञानाच्या विविध क्षेत्रांतील कल्पनांना जोडू शकत असेल आणि तज्ज्ञांच्या छाननीत टिकून राहणारे संशोधन तयार करू शकत असेल, तर त्या क्षमता जीवशास्त्र, भौतिकशास्त्र, पदार्थ विज्ञान, अभियांत्रिकी आणि वैद्यकशास्त्र या क्षेत्रांमध्येही उपयुक्त ठरतात, आणि त्या अधिक स्वयंचलित संशोधनाच्या दिशेने असलेल्या आपल्या दीर्घकालीन मार्गाचा भाग आहेत: अशा प्रणाली ज्या शास्त्रज्ञ आणि अभियंत्यांना अधिक कल्पनांचा शोध घेण्यास आणि अधिक कठीण तांत्रिक प्रश्नांचा पाठपुरावा करण्यास मदत करू शकतील.

AI आता संशोधनातील सर्जनशील भागांमध्ये, आणि सर्वात महत्त्वाचे म्हणजे AI संशोधनातच, अतिशय गंभीर भूमिका घेण्याच्या उंबरठ्यावर आहे. ही प्रगती अनपेक्षित नसली तरी, AI विकासाच्या या पुढील टप्प्याचे आकलन, अत्यंत बुद्धिमान प्रणालींना संरेखित करण्यातील आव्हाने, आणि मानव-AI सहकार्याचे भविष्य याबद्दल आम्हाला जाणवणारी तातडी ती अधिक ठळक करते.

ते भविष्य अजूनही मानवी निर्णयक्षमतेवर अवलंबून आहे. तज्ज्ञता कमी नव्हे, अधिक मौल्यवान बनते. AI शोध, सूचना आणि पडताळणी करण्यात मदत करू शकते. लोक महत्त्वाच्या समस्यांची निवड करतात, निष्कर्षांचा अर्थ लावतात आणि पुढे कोणत्या प्रश्नांचा पाठपुरावा करायचा, हे ठरवतात.