OpenAI modelis ir atspēkojis centrālu diskrētās ģeometrijas minējumu

Gandrīz 80 gadus matemātiķi ir pētījuši maldinoši vienkāršu jautājumu: ja plaknē izvieto $n$ punktus, cik daudzi punktu pāri var atrasties tieši $1$ attālumā viens no otra?

Šī ir plaknes vienības attāluma problēma, ko 1946. gadā pirmo reizi izvirzīja Pāls Erdēšs. Tas ir viens no pazīstamākajiem kombinatoriskās ģeometrijas jautājumiem, ko ir viegli formulēt, bet atrisināt – ārkārtīgi grūti. 2005. gada grāmatā Research Problems in Discrete Geometry, ko sarakstījuši Brass, Mozers un Pačs, tā tiek dēvēta par “iespējams, pazīstamāko (un visvienkāršāk izskaidrojamo) problēmu kombinatoriskajā ģeometrijā”. Noga Alons, viens no vadošajiem kombinatoriķiem Prinstonas Universitātē, to raksturo kā “vienu no Erdēša iecienītākajām problēmām.” Erdēšs pat piedāvāja naudas balvu par šīs problēmas atrisināšanu.

Šodien mēs dalāmies ar izrāvienu vienības attāluma problēmā. Kopš Erdēša sākotnējā darba valdīja uzskats, ka tālāk zemāk attēlotās “kvadrātveida režģa” konstrukcijas būtībā ir optimālas vienības attāluma pāru skaita maksimizēšanai. Iekšējs OpenAI modelis ir atspēkojis šo ilgstošo minējumu, sniedzot bezgalīgu piemēru saimi, kas dod polinomiālu uzlabojumu. Pierādījumu ir pārbaudījusi ārējo matemātiķu grupa. Viņi ir arī uzrakstījuši pavadošu rakstu, kurā izskaidrots arguments un sniegts papildu fons un konteksts par rezultāta nozīmi.

Rezultāts ir ievērības cienīgs arī ar to, kā tas tika atrasts. Pierādījums radās no jauna vispārīga spriestspējas modeļa, nevis no sistēmas, kas apmācīta tieši matemātikai, strukturēta pierādījumu stratēģiju meklēšanai vai īpaši vērsta uz vienības attāluma problēmu. Plašāku centienu ietvaros pārbaudīt, vai attīstīti modeļi var dot ieguldījumu robežpētniecībā, mēs to novērtējām uz Erdēša problēmu kopas. Šajā gadījumā tas radīja pierādījumu, kas atrisina atklāto problēmu.

Šis pierādījums ir nozīmīgs sasniegums matemātikas un MI kopienām. Tā ir pirmā reize, kad ievērojamu atklātu problēmu, kas ir centrāla matemātikas apakšnozarei, autonomi atrisinājis MI. Tas arī parāda, cik dziļu spriestspēju šīs sistēmas tagad atbalsta. Matemātika nodrošina īpaši skaidru spriestspējas pārbaudes vidi: problēmas ir precīzas, iespējamos pierādījumus var pārbaudīt, un garš arguments darbojas tikai tad, ja spriedums saglabājas konsekvents no sākuma līdz beigām. Ievērības cienīga ir arī metode, ar kuru problēma tika atrisināta. Pierādījums izmanto negaidītas, izsmalcinātas idejas no algebriskās skaitļu teorijas, lai risinātu elementāru ģeometrisku jautājumu.

Fīldsa medaļas laureāts Tims Goverss pavadošajā rakstā šo rezultātu sauc par “pagrieziena punktu MI matemātikā”. Pēc vadošā skaitļu teorētiķa Arula Šankara teiktā, “Manuprāt, šis raksts parāda, ka pašreizējie MI modeļi ir kas vairāk nekā tikai palīgi cilvēkiem matemātiķiem — tie spēj radīt oriģinālas, ģeniālas idejas un pēc tam tās īstenot līdz galam”.

Pierādījums ir pieejams šeit⁠(atveras jaunā logā). Vadošu ārējo matemātiķu pavadošais raksts ir pieejams šeit⁠(atveras jaunā logā). Saīsinātu modeļa domu ķēdes versiju var skatīt šeit⁠(atveras jaunā logā).

Lai $u(n)$ ir lielākais iespējamais vienības attāluma pāru skaits starp $n$ punktiem plaknē. Piemērus ar lineāru pieauguma tempu ir viegli konstruēt: izvietojot $n$ punktus vienā līnijā, iegūst $n-1$ pārus, savukārt kvadrātveida režģis dod apmēram $2n$ pārus. Iepriekš labākā zināmā konstrukcija, kas iegūta no pārmērogota kvadrātveida režģa, izrādās, dod vēl vairāk: $n^{1 + C / \log \log(n)}$, kur $C$ ir konstante. Tā kā $\log \log(n)$ tiecas uz bezgalību, pieaugot $n$, papildu loceklis eksponentā tiecas uz $0$, kas nozīmē, ka šīs konstrukcijas sasniedz pieaugumu tikai nedaudz ātrāku par lineāru. Desmitgadēm ilgi plaši valdīja uzskats, ka šis temps būtībā ir labākais iespējamais un neviena konstrukcija nevar būtiski uzlabot kvadrātveida režģi. Tehniskāk runājot, Erdēšs izteica minējumu par augšējo robežu $n^{1+o(1)}$, kur papildu $o(1)$ apzīmē locekli, kas, pieaugot $n$, tiecas uz $0$.

Mūsu jaunais rezultāts šo pieņēmumu atspēko. Precīzāk, bezgalīgi daudzām $n$ vērtībām pierādījums konstruē $n$ punktu konfigurācijas ar vismaz $n^{1+\delta}$ vienības attāluma pāriem, kādam fiksētam eksponentam $\delta > 0$. (Sākotnējais MI pierādījums nedod skaidru $\delta$, taču gaidāms precizējums, ko izstrādājis Prinstonas matemātikas profesors Vils Savins, ir parādījis, ka var ņemt $\delta=0,014$.)

Šīs problēmas vēsture palīdz saprast, kāpēc rezultāts ir pārsteidzošs. Labākā zināmā apakšējā robeža kopš Erdēša sākotnējās 1946. gada konstrukcijas bija palikusi būtībā nemainīga. Labākā augšējā robeža, $O(n^{4/3})$, datēta ar Spensera, Sēmerēdi un Trottera darbu 1984. gadā, un, neraugoties uz vēlākajiem precizējumiem un saistīto strukturālo darbu, ko veikuši Sēkejs, Katzs un Siljērs, Pačs, Razs un Šolimoši, kā arī citi, augšējā robeža ir palikusi būtībā nemainīga. Kā pierādījumu par labu minējumam Matoušeks un Alon-Bucić-Sauermann pētīja problēmu ar neeiklīdiskiem attālumiem plaknē un pierādīja, ka “lielākā daļa” šo neeiklīdisko attālumu kaut kādā nozīmē pakļaujas minējumam.

Pārsteidzoši, konstrukcijas galvenās sastāvdaļas nāk no pavisam citas matemātikas daļas, ko sauc par algebrisko skaitļu teoriju un kas pēta tādus jēdzienus kā faktorizācija veselo skaitļu paplašinājumos, ko sauc par algebriskajiem skaitļu laukiem.

Vispārīgā līmenī pierādījums sākas ar pazīstamu ģeometrisku ideju un virza to negaidītā virzienā.

Erdēša sākotnējo apakšējo robežu var saprast caur Gausa veselajiem skaitļiem: skaitļiem formā $a+bi$, kur $a$ un $b$ ir veseli skaitļi un $i$ ir $-1$ kvadrātsakne. Gausa veselie skaitļi paplašina parastos veselos skaitļus un, tāpat kā tie, bauda tādas īpašības kā unikāla sadalīšana pirmskaitļos. Šādus parasto veselo vai racionālo skaitļu paplašinājumus sauc par algebriskajiem skaitļu laukiem. Jaunais arguments aizstāj Gausa veselos skaitļus ar sarežģītākiem algebriskās skaitļu teorijas vispārinājumiem ar bagātākām simetrijām, kas var radīt daudz vairāk vienības garuma starpību.

Precīzajā argumentā tiek izmantoti tādi rīki kā bezgalīgi klašu lauku torņi un Goloda–Šafareviča teorija, lai parādītu, ka argumentam nepieciešamie skaitļu lauki patiešām eksistē. Šīs idejas algebriskās skaitļu teorijas speciālistiem bija labi zināmas, taču bija liels pārsteigums, ka šiem jēdzieniem ir sekas ģeometriskiem jautājumiem Eiklīda plaknē.

Šis rezultāts iezīmē svarīgu brīdi MI un matemātikas mijiedarbībā: MI sistēma ir autonomi atrisinājusi ilgstošu atklātu problēmu aktīvas nozares centrā. Tas arī sniedz agrīnu ieskatu jaunā sadarbības veidā starp MI un cilvēkiem matemātiķiem. Šajā gadījumā ārējo matemātiķu pavadošais darbs sniedz būtiski bagātāku ainu nekā tikai sākotnējais risinājums.

Kā Tomass Blūms raksta pavadošajā piezīmē:

“Vērtējot MI ģenerēta pierādījuma nozīmīgumu un ietekmi, es sev uzdodu jautājumu: vai tas mums ir iemācījis ko jaunu par problēmu? Vai mēs tagad labāk saprotam diskrēto ģeometriju? Man šķiet, ka atbilde ir piesardzīgi apstiprinoša: tas parāda, ka skaitļu teorētiskām konstrukcijām par šāda veida jautājumiem ir daudz vairāk ko teikt, nekā mēs domājām; turklāt nepieciešamā skaitļu teorija var būt ļoti dziļa. Nav šaubu, ka daudzi algebriskās skaitļu teorijas speciālisti tuvākajos mēnešos rūpīgi aplūkos citas atklātas problēmas diskrētajā ģeometrijā.”

Risinājuma atklātā negaidītā saikne starp algebrisko skaitļu teoriju un diskrēto ģeometriju ir daļa no tā, kas padara šo rezultātu ievērības cienīgu. Tas ne tikai atrisina konkrētu minējumu, bet var arī dot matemātiķiem tiltu, ar kuru sākt pētīt citas saistītas problēmas.

Blūms norāda arī uz plašāku iespēju:

“Zināšanu robežas ir ļoti robainas, un nav šaubu, ka nākamajos mēnešos un gados mēs redzēsim līdzīgus panākumus daudzās citās matemātikas jomās, kur ilgstošas atklātas problēmas atrisinās MI, atklājot negaidītas saiknes un virzot esošo tehnisko arsenālu līdz tā robežām. MI palīdz mums pilnīgāk izpētīt matemātikas katedrāli, ko esam cēluši gadsimtu gaitā; kādi vēl neredzēti brīnumi gaida aizkulisēs?”

Šis rezultāts sniedz daudzsološu piemēru: MI dod ieguldījumu ne tikai risinājumā, bet arī matemātiskā atklājumā, kura nozīme kļūst skaidrāka un bagātāka, cilvēkiem to tālāk izprotot.

Galvenā atziņa ir plašāka par šo konkrēto rezultātu. Labāka matemātiskā spriestspēja var padarīt MI par spēcīgāku pētniecības partneri: par kaut ko, kas spēj noturēt kopā sarežģītas domu līnijas, savienot idejas starp attālām zināšanu jomām, izcelt daudzsološus virzienus, kuriem eksperti, iespējams, nav devuši prioritāti, un palīdzēt pētniekiem virzīties uz priekšu problēmās, kas citādi būtu pārāk sarežģītas vai laikietilpīgas.

Šīs spējas ir svarīgas arī ārpus matemātikas. Ja modelis spēj saglabāt sarežģītu argumentu saskaņotu, savienot idejas starp attālām zināšanu jomām un radīt darbu, kas iztur ekspertu pārbaudi, tad tās ir noderīgas spējas arī bioloģijā, fizikā, materiālzinātnē, inženierijā un medicīnā, un tās ir daļa no mūsu ilgtermiņa ceļa uz vairāk automatizētu pētniecību: sistēmām, kas var palīdzēt zinātniekiem un inženieriem izpētīt vairāk ideju un risināt grūtākus tehniskus jautājumus.

MI drīz sāks ieņemt ļoti nopietnu lomu pētniecības radošajās daļās un, pats galvenais, arī pašā MI pētniecībā. Lai gan šis progress nav negaidīts, tas vēl vairāk pastiprina steidzamību, ko izjūtam attiecībā uz šīs nākamās MI attīstības fāzes izpratni, ļoti intelektuālu sistēmu saskaņošanas izaicinājumiem un cilvēka un MI sadarbības nākotni.

Šī nākotne joprojām ir atkarīga no cilvēka sprieduma. Ekspertīze kļūst vērtīgāka, nevis mazāk vērtīga. MI var palīdzēt meklēt, ieteikt un pārbaudīt. Cilvēki izvēlas svarīgās problēmas, interpretē rezultātus un izlemj, kādus jautājumus pētīt tālāk.