Dešimt matematikos ir teorinės informatikos laimėjimų

Siekiame suteikti mokslininkams ir matematikams priemonių, kurios paspartintų atradimus. Todėl neseniai paskelbėme iniciatyvą „ChatGPT“ akademiniams tyrėjams“⁠, suteikiančią 100 000 mokslininkų ir matematikų nemokamą prieigą prie geriausių mūsų „ChatGPT“ modelių. Kurdami modelius taip pat toliau vertiname jų gebėjimą spręsti atviras mokslinių tyrimų problemas.

Gegužę pristatėme DI sugeneruotą Erdőso vienetinio atstumo hipotezės paneigimą⁠, atrastą vertinant dar neišleistą modelį. Šis darbas jau paskatino tolesnę matematikos ir teorinės informatikos pažangą¹. Šiandien pristatome dešimt rezultatų, kurių kiekvienas išsprendžia ilgai neišspręstą problemą arba padeda gerokai priartėti prie jos sprendimo. Šios problemos apima didelio matmenų skaičiaus geometriją, kodavimo teoriją, aritmetinių grandinių sudėtingumą, grupių teoriją, operatorių algebras, kvantinį sudėtingumą, gardelių kriptografiją ir ekstremaliąją kombinatoriką. Visos šios problemos labai svarbios atitinkamoms matematikų bendruomenėms, o kelios iš jų aktualios ir visai matematikos sričiai.

Pateikiame naujus šių problemų rezultatus. Šiuos rezultatus pasiekė vidinė „Astra“, mūsų būsimo svarbaus modelio, versija. Bendras šioms problemoms išspręsti reikalingų žetonų kiekis pagal „Sol“ API įkainius kainuotų apie 2 000 JAV dolerių. Tuomet žmonės, naudodami tą patį modelį, šiuos argumentus parengė kaip rankraščius. Vėliau modelis kiekvieną argumentą formalizavo kaip „Lean“ sertifikatą⁠(atsidaro naujame lange). Taip pat skelbiame modelio pasakojimą apie kiekvieno sprendimo mąstymo procesą.

1. Rutulių pakavimas didelio matmenų skaičiaus erdvėse. Naujos viršutinės rutulių pakavimo tankio ribos iki pat Cohno–Elkieso slenksčio.
2. Dvejetainiai ir sferiniai kodai. Eksponentiškai pagerintos didžiausio dvejetainių kodų dydžio ribos esant bet kokiam nustatytam mažiausiam atstumui ir analogiški didelio matmenų skaičiaus sferinių kodų rezultatai.
3. Nesofinės grupės. Konstrukcija, įrodanti nesofinių grupių egzistavimą ir atsakanti į vieną pagrindinių atvirų grupių teorijos klausimų.
4. Conneso standumo hipotezė. Paneigta ilgalaikė hipotezė, kad tam tikras grupes vienareikšmiškai apibrėžia jų von Neumanno algebros.
5. Aritmetinių grandinių sudėtingumas. Naujos apatinės permanento skaičiavimo aritmetinėmis grandinėmis ir formulėmis ribos, įskaitant n⁴/log n eilės apatinę aritmetinių formulių ribą.
6. Kvantinis lygiagretusis kartojimas. Eksponentinio lygiagrečiojo kartojimo teorema bendriesiems dviejų žaidėjų kvantiniams žaidimams, išplečianti pamatinį klasikinės sudėtingumo teorijos principą.
7. Artimiausio vektoriaus problema. Polinominio daugiklio aproksimavimo sudėtingumas artimiausio vektoriaus problemai – pamatiniam gardelių teorijos klausimui, susijusiam su pokvantine kriptografija.
8. Ehrharto tūrio hipotezė. Visuose matmenyse nustatomas didžiausias galimas iškilojo kūno, kurio masės centras yra vienintelis jo vidinis gardelės taškas, tūris.
9. Daugiaspalviai Ramsey skaičiai. Supereksponentinė apatinė daugiaspalvių trikampių Ramsey skaičių riba, išsprendžianti 183-iąją Erdőso problemą.
10. Ekstremaliųjų skaičių hipotezės. Rezultatai, susiję su ekstremaliosios grafų teorijos kompaktiškumo ir išsigimimo hipotezėmis, išsprendžiantys 146-ąją ir 180-ąją Erdőso problemas.

Atsiradus sistemoms, galinčioms prisidėti prie matematikos tyrimų, kyla klausimų, į kuriuos viena technologijų bendrovė atsakyti negali. Nuomonių apie DI vaidmenį matematikoje yra daug. Labai gerbiame ir suprantame susirūpinimą dėl jo poveikio reiškiančius žmones, įskaitant Leideno deklaracijos dėl DI ir matematikos⁠(atsidaro naujame lange) signatarus. Manome, kad autorystė turi sąžiningai atspindėti, kaip buvo gautas rezultatas: žmogui priskyrus vien DI sistemos sugeneruoto įrodymo autorystę, būtų neteisingai pristatytas tiek sistemos indėlis, tiek tikro žmogaus intelektinio darbo pobūdis. Padėjome rengti rankraščius ir formalizuoti įrodymus sistemoje „Lean“, todėl prisiimame atsakomybę už jų teisingumą, tačiau pačius matematinius argumentus sugeneravo mūsų sistema. Tikimės, kad matematikų bendruomenė nuodugniai išnagrinės šiuos rezultatus, įvertins juos platesniame kontekste ir naujais tyrimais bei atradimais įgyvendins jų idėjas.

DI sistemoms tampant vis pažangesniais mokslinių tyrimų partneriais, plati prieiga yra būtina norint padėti mokslininkams ir matematikams šiuo permainų laikotarpiu orientuotis savo sričių raidoje ir kurti jų ateitį.