Apie Navier–Stokeso Tūkstantmečio premijos uždavinį

Dalijamės vieno iš Tūkstantmečio premijos uždavinių – Navier–Stokeso egzistavimo ir glodumo uždavinio – sprendimu. Šis vidinės „OpenAI“ sistemos parengtas įrodymas rodo, kad skysčių judėjimą aprašančių Navier–Stokeso lygčių dinamikoje per baigtinį laiką gali susidaryti singuliarumas. Skelbiame ir įrodymo aprašą, ir jo formalizaciją sistemoje „Lean“.

Tūkstantmečio premijos uždaviniai⁠(atsidaro naujame lange) – vieni sudėtingiausių šiuolaikinio matematikos mokslo klausimų. Klausimas, ar glodus trimatis skysčio judėjimas gali suirti, lieka neišspręstas jau maždaug 90 metų.

Vienas svarbiausių mūsų darbo tikslų – suteikti mokslininkams galimybių plėtoti visai žmonijai naudingus mokslinius tyrimus ir technologijas. Navier–Stokeso uždaviniui išspręsti naudojome vidinį modelį, kurio gebėjimai gerokai pranoksta „GPT‑6 Astra“. Manome, kad yra svarbu informuoti pasaulį apie DI pažangos tempą ir tai, ko galima tikėtis iš būsimų modelių.

Navier–Stokeso lygtyse skysčių judėjimui aprašyti taikomas antrasis Niutono dėsnis (F=ma). Svarbu yra tai, kad jose skystis laikomas ištisine terpe, užuot sekus atskiras molekules. Šios lygtys naudojamos projektuojant orlaivius, prognozuojant orus ir tiriant kraujotaką.

Esminis neišspręstas šių dinaminių lygčių klausimas – ar skysčio ištisinės terpės aproksimacija gali suirti. Tiksliau, ar Navier–Stokeso lygtyse, aprašančiose pastovaus tankio trimatį nespūdųjį skystį, gali susidaryti singuliarumas, net jei pradinis judėjimas yra glodus? Singuliarumas čia reiškia, kad dėl dinamikos skysčio greitis per baigtinį laiką ima neribotai didėti. Singuliarumas turėtų susidaryti nepaisant klampos, kuri paprastai glodina judėjimą. Kadangi tikras skystis negali judėti be galo greitai, tai reikštų, kad lygtys nebegali tinkamai modeliuoti skysčio. Norint toliau modeliuoti sistemą, tuomet reikėtų atskirai sekti kiekvienos dalelės elgseną.

Šios lygtys kilo iš XIX amžiuje Claude-Louis Navier ir George Gabriel Stokes atliktų darbų. 1934 m. Jean Leray įrodė, kad sprendiniai egzistuoja apibendrinta prasme, tačiau klausimas, ar jie visada išlieka glodūs, tapo vienu svarbiausių neatsakytų klausimų. 2000 m. Clay matematikos institutas Navier–Stokes egzistavimo ir glodumo uždavinį įtraukė į septynių Tūkstantmečio premijos uždavinių sąrašą.

Mūsų sistema parengė analizinį įrodymą ir jo formalizaciją sistemoje „Lean“, rodančius, kad iš pradžių glodus ir nejudantis skystis per baigtinį laiką gali įgyti singuliarumą. Skystį veikia glodi jėga, o jo energija per visą dinaminį procesą – nuo ramybės būsenos iki singuliarumo susidarymo – išlieka baigtinė. Taip išsprendžiamas Navier–Stokes Tūkstantmečio premijos uždavinys, įrodant teiginį „C“ (taip pat „D“) oficialios Tūkstantmečio premijos uždavinio formuluotėje⁠(atsidaro naujame lange).

Sprendinys yra sūkurys – besisukantis skysčio verpetas, kuris spirale traukiasi į vidų ir vis labiau tįsta tarsi spagečio gija. Ši centrinė sritis traukiasi ir greitėja taip, kad jos energija, kaip reikalauja fizikos dėsniai, vis tiek išlieka baigtinė. Techninis iššūkis – pasiekti, kad lygčių aprašoma būsena suirtų dėl paties skysčio judėjimo, o ne, pavyzdžiui, dirbtinai įvedus begalinę jėgą. Matematiškai kalbant, judėjimą aprašantys Navier–Stokes lygčių nariai – pagreitis, slėgio gradientai, impulso pernaša ir klampa – turi tapti dideli, tačiau kartu tiksliai vieni kitus kompensuoti. Dėl šios tikslios pusiausvyros išorinė jėga išlieka glodi, nors skysčio greitis neribotai didėja.

Nuo rugpjūčio 28 d. mokome naują vidinį modelį, kurio rezultatai mūsų testuose, įskaitant matematikos užduotis, pademonstravo precedento neturinčius rezultatus. Šis modelis vis dar yra apmokomas ir jo rezultatai toliau gerėja.

Antradienį, rugsėjo 1 d., išgirdome gandų, kad buvo išspręsti du Tūkstantmečio premijos uždaviniai. Paskatinti šių gandų ir staigaus mūsų vidinio modelio rezultatų šuolio, pradėjome vertinti jį pagal visus neišspręstus Tūkstantmečio premijos uždavinius ir kelis kitus didelės reikšmės uždavinius.

Naudojome koordinuotų agentų sistemą, veikiančią su mūsų vidiniu modeliu. Agentai galėjo naudotis įrankiais, pavyzdžiui, skaityti talpykloje išsaugotą interneto versiją ir vykdyti programinį kodą. Agentai buvo suskirstyti į grupes, kurių nariai galėjo tarpusavyje bendrauti. Grupių dydis skyrėsi, o Navier–Stokes uždavinį išsprendusioje grupėje vienu metu veikė apie 10 000 agentų. Visą laiką taikėme tas pačias griežtas apsaugos priemones, kurias naudojame vertindami visus pažangiausius modelius, įskaitant stebėseną ir izoliavimą.

Kiekvienam uždaviniui skirtingoms agentų grupėms pateikėme skirtingas jo formuluotės versijas, apimančias visus uždavinio variantus. Navier–Stokes uždavinio atveju atskiroms agentų grupėms pateikėme versijas „A“ ir „B“ (konkrečias uždavinio formas, kurių rezultatas būtų įrodymas) bei versijas „C“ ir „D“ (kurių rezultatas būtų paneigimas).

Be visų Tūkstantmečio premijos uždavinių, savo daugelio agentų sistemos paprašėme išmėginti ir kelis „lengvesnius“ uždavinius. Vienas jų buvo panašus singuliarumo susidarymo klausimas Navier–Stokes uždavinio ribiniam atvejui, pašalinus klampos narį. Tai vadinama Euler lygčių reguliarumo uždaviniu, ir mūsų agentai mus nustebino jį išspręsdami. Jie išsprendė būtent be išorinės jėgos suformuluotą uždavinio variantą, kuriame skysčio neveikia jokia išorinė jėga. Beveik 100 agentų maždaug 50 valandų dirbo kartu ir parengė Euler lygčių reguliarumo paneigimą¹.

Pamatę Euler lygčių sprendimą, nusprendėme, kad perspektyviausia yra dirbti su Navier–Stokes uždaviniu. Todėl nusprendėme sutelkti savo išteklius į Navier–Stokes uždavinį. Tam agentus perkėlėme nuo kitų Tūkstantmečio premijos uždavinių ir pateikėme jiems Euler lygčių sprendimą. Kai vykdant projektą tapo prieinama ilgiau mokyta mūsų vidinio modelio versija, agentams pradėjome naudoti šią versiją.

Skatinome skirtingas agentų grupes išbandyti įvairius metodus. Po kurio laiko pradėjome agentų grupių idėjų mainus: pasitelkę „Codex“ sujungėme naudingiausias kiekvienos grupės įžvalgas. Šiose vėlesnėse užklausose rėmėmės pačių agentų tarpiniais rezultatais. Tokiu būdu buvo nukreipiama ir Navier–Stokes uždavinio sprendimą radusi grupė.

Agentai sprendimą rado šeštadienį, rugsėjo 5 d., praėjus maždaug 88 valandoms nuo pirmųjų agentų paleidimo. Formalizacijai ir patikrai sistemoje „Lean“ su „GPT‑6 Astra“ prireikė dar 17 valandų.

Spręsdami visus pasirinktus uždavinius, agentai išsiuntė 4,9 mln. pranešimų ir sunaudojo apie 300 mlrd. išvesties tokenų. Spręsdami Navier–Stokes uždavinį, agentai išsiuntė 2,7 mln. pranešimų ir sunaudojo maždaug 130 mlrd. išvesties tokenų.

Darbą pradėjome rugsėjo 1 d., išgirdę gandą, kuris, kaip vėliau supratome, buvo susijęs su „Anthropic“ darbuotoju Levent Alpöge ir NYU matematikos profesoriumi Tristan Buckmaster.² Rugsėjo 6 d. užbaigę visą projektą ir patikrą sistemoje „Lean“ bei iš gando manydami, kad jie taip pat išsprendė Navier–Stokes uždavinį, susisiekėme su jais ir pasiūlėme rezultatus paskelbti tuo pačiu metu, o bendrame pranešime pripažinti jų pirmumą. Tuomet sužinojome, kad naudodami vidinį „Anthropic“ modelį jie išsprendė Euler uždavinį su išorine jėga. Per šias diskusijas pasiūlėme jiems susipažinti su visomis mūsų naudotomis užklausomis, o vėliau ir su įrodymu. Pripažįstame jų darbo, susijusio su Euler lygtimis ir išorine jėga, pirmumą ir sveikiname juos pasiekus išskirtinį matematinį rezultatą.

Mes – tyrėjai ir agentai – jokiais būdais nematėme jų darbo, kol jis nebuvo paskelbtas viešai. Sprendžiant šį uždavinį nebuvo pasiekta jokių konkrečių naudotojų duomenų.

Atlikę tyrimą patvirtinome, kad Buckmaster „Codex“ užklausos, pateiktos per du mėnesius iki šio pranešimo ir straipsnio paskelbimo 2026 m. rugsėjo 8 d., niekaip negalėjo paveikti sistemos, įskaitant jos mokymą. Šiam rezultatui gauti naudotas vidinis „OpenAI“ modelis buvo sukurtas anksčiau iš anksto išmokytam modeliui pritaikius didelio masto skatinamąjį mokymąsi. Mūsų įrodymai taip pat gerokai skiriasi. Euler lygčių atveju Alpöge ir Buckmaster įrodė rezultatą su išorine jėga, o „OpenAI“ sistema – rezultatą be išorinės jėgos.

Skelbdami šį rezultatą siekiame pranešti apie reikšmingą mūsų DI modelių pažangą. Už šį rezultatą neketiname pretenduoti į Tūkstantmečio premiją.

Šis svarbus pasiekimas pareikalavo daug matematikų ir DI tyrėjų darbo. Vis dėlto tai nėra kulminacija, o veikiau tik tam tikro laiko momento DI plėtros pažangos atspindys.

Manome, kad prasidėjo naujas DI pažangos etapas⁠, o šiandienos rezultatai tai dar kartą patvirtina. Daugiausia dėmesio skiriame šiam modeliui suprasti, o įgytas žinias naudojame spręsdami, kaip kryptingai ir kokiu tempu toliau plėtoti jo gebėjimus. Vienas iš mūsų pagrindinių tikslų⁠ – kurti valdomas, atskaitingas ir su žmonėmis susietas DI sistemas. Tęsdami misiją siekiame užtikrinti, kad BDI (bendrasis dirbtinis intelektas, angl. AGI) būtų naudingas visai žmonijai modelis– tai gali pareikalauti labiau apgalvotų sprendimų dėl plėtros spartos.