ಒಂದು OpenAI ಮಾಡೆಲ್ ವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ (ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ) ಪ್ರಮುಖ ಊಹೆಯನ್ನು (ಕಂಜಕ್ಚರ್) ತಪ್ಪು ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸಿದೆ

ಸುಮಾರು 80 ವರ್ಷಗಳಿಂದ, ಗಣಿತಜ್ಞರು ಮೇಲ್ನೋಟಕ್ಕೆ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿ ಕಾಣುವ ಒಂದು ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ: ನೀವು ಒಂದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ (ಪ್ಲೇನ್) $n$ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಇರಿಸಿದರೆ, ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ನಿಖರವಾಗಿ 1 ರಷ್ಟು ದೂರವಿರುವ ಎಷ್ಟು ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು ಸಾಧ್ಯ?

ಇದು ಪ್ಲೇನಾರ್ ಯೂನಿಟ್ ಡಿಸ್ಟೆನ್ಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಮೊದಲು 1946 ರಲ್ಲಿ ಪಾಲ್ ಎರ್ಡಾಶ್ ಅವರು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ್ದರು. ಇದು ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ; ವಿವರಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿದ್ದರೂ, ಪರಿಹರಿಸಲು ಮಾತ್ರ ಇದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ. ಬ್ರಾಸ್, ಮೋಸರ್ ಮತ್ತು ಪಾಕ್ ರಚಿಸಿದ 2005ರ Research Problems in Discrete Geometry ಪುಸ್ತಕವು ಇದನ್ನು “ಬಹುಶಃ ಸಂಯೋಜಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪರಿಚಿತ (ಮತ್ತು ವಿವರಿಸಲು ಅತಿ ಸರಳ) ಸಮಸ್ಯೆ” ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತದೆ. ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್‌ನ ಅಗ್ರಗಣ್ಯ ಸಂಯೋಜನಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ನೋಗಾ ಅಲೋನ್, ಇದನ್ನು “ಎರ್ಡೋಶ್ ಅವರ ಮೆಚ್ಚಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲೊಂದು” ಎಂದು ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದವರಿಗೆ ಎರ್ಡೋಶ್ ನಗದು ಬಹುಮಾನವನ್ನೂ ನೀಡುವುದಾಗಿ ಘೋಷಿಸಿದ್ದರು.

ಇಂದು, ನಾವು ಯೂನಿಟ್ ಡಿಸ್ಟೆನ್ಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ಮಹತ್ವದ ಸಾಧನೆಯನ್ನು (ಬ್ರೇಕ್‌ಥ್ರೂ) ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಎರ್ಡಾಶ್ ಅವರ ಮೂಲ ಸಂಶೋಧನೆಯ ನಂತರ, ಯೂನಿಟ್-ಡಿಸ್ಟೆನ್ಸ್ ಜೋಡಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲು ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಲಾದ “ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಗ್ರಿಡ್” ರಚನೆಗಳೇ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮಾರ್ಗವಾಗಿವೆ ಎಂಬ ಬಲವಾದ ನಂಬಿಕೆ ಇತ್ತು. ಒಂದು ಆಂತರಿಕ (ಇಂಟರ್ನಲ್) OpenAI ಮಾಡೆಲ್ ದೀರ್ಘಕಾಲದಿಂದ ಇದ್ದ ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ತಪ್ಪು ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸಿದೆ. ಇದು ಪಾಲಿನೋಮಿಯಲ್ ಸುಧಾರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಅನಂತ ಸರಣಿಯನ್ನೇ (ಇನ್ಫೈನೈಟ್ ಫ್ಯಾಮಿಲಿ) ಒದಗಿಸಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಹೊರಗಿನ ಗಣಿತಜ್ಞರ ಒಂದು ಗುಂಪು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದೆ. ಅವರು ವಾದವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮಹತ್ವಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಹಿನ್ನೆಲೆ ಹಾಗೂ ಸಂದರ್ಭ ಒದಗಿಸುವ ಸಹಾಯಕ ಲೇಖನವನ್ನೂ ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ.

ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು ಎಂಬ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿಯೂ ಇದು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿದೆ. ಈ ಪುರಾವೆಯು ಗಣಿತಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ತರಬೇತಿ ಪಡೆದ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನಿಂದ ಬಂದಿದ್ದಲ್ಲ. ಇದು ಪುರಾವೆ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿದ ಅಥವಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಯೂನಿಟ್ ಡಿಸ್ಟೆನ್ಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಗುರಿಯಾಗಿಸಿಕೊಂಡು ರೂಪಿಸಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೂ ಅಲ್ಲ. ಬದಲಿಗೆ, ಇದು ಒಂದು ಹೊಸ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉದ್ದೇಶದ ತಾರ್ಕಿಕ ಮಾದರಿಯಿಂದ (ಜನರಲ್-ಪರ್ಪಸ್ ರೀಸನಿಂಗ್ ಮಾಡೆಲ್) ಬಂದಿದೆ. ಮುನ್ನಡೆಯ ಸಂಶೋಧನೆಗೆ ಉನ್ನತ ಮಾಡೆಲ್‌ಗಳು ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಬಹುದೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ವಿಶಾಲ ಪ್ರಯತ್ನದ ಭಾಗವಾಗಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಎರ್ಡೋಶ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಕಲನದ ಮೇಲೆ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿದೆವು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದು ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಿತು.

ಈ ಪ್ರಮಾಣವು ಗಣಿತ ಮತ್ತು AI ಸಮುದಾಯಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಮಹತ್ವದ ಮೈಲುಗಲ್ಲಾಗಿದೆ. ಗಣಿತದ ಒಂದು ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರಮುಖ ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು AI ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿರುವುದು ಇದೇ ಮೊದಲ ಬಾರಿ. ಇದು ಈಗ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಬೆಂಬಲಿಸುವ ರೀಜನಿಂಗ್‌ನ ಆಳವನ್ನೂ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ರೀಜನಿಂಗ್‌ಗೆ ಗಣಿತವು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಪರೀಕ್ಷಾ ವೇದಿಕೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ: ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ನಿಖರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಸಾಧ್ಯ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ದೀರ್ಘವಾದ ವಾದವು ಆರಂಭದಿಂದ ಅಂತ್ಯವರೆಗೆ ರೀಜನಿಂಗ್ ಒಟ್ಟಾಗಿ ಹಿಡಿದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ವಿಧಾನವೂ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮಾಣವು ಮೂಲಭೂತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಮೇಲೆ ಬೀರುವಂತೆ ಬೀಜಗಣಿತೀಯ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಅನಿರೀಕ್ಷಿತ, ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ತರುತ್ತದೆ.

ಸಹಾಯಕ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತಿರುವ ಫೀಲ್ಡ್ಸ್ ಪದಕ ವಿಜೇತ ಟಿಮ್ ಗೌವರ್ಸ್, ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು “AI ಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಮೈಲುಗಲ್ಲು” ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಪ್ರಮುಖ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತಜ್ಞ ಅರುಲ್ ಶಂಕರ್ ಅವರ ಪ್ರಕಾರ, “ನನ್ನ ಅಭಿಪ್ರಾಯದಲ್ಲಿ ಈ ಲೇಖನವು ಇಂದಿನ AI ಮಾಡೆಲ್‌ಗಳು ಮಾನವ ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಕೇವಲ ಸಹಾಯಕರಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ – ಅವು ಮೂಲಭೂತ ಚಾತುರ್ಯಪೂರ್ಣ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು, ನಂತರ ಅವನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಸಮರ್ಥವಾಗಿವೆ”.

ಈ ಪ್ರಮಾಣ ಇಲ್ಲಿ⁠(ಹೊಸ ಕಿಟಕಿಯಲ್ಲಿ ತೆರೆಯುತ್ತದೆ) ಲಭ್ಯವಿದೆ. ಪ್ರಮುಖ ಹೊರಗಿನ ಗಣಿತಜ್ಞರ ಸಹಾಯಕ ಲೇಖನ ಇಲ್ಲಿ⁠(ಹೊಸ ಕಿಟಕಿಯಲ್ಲಿ ತೆರೆಯುತ್ತದೆ) ಲಭ್ಯವಿದೆ. ಮಾಡೆಲ್‌ನ chain of thought ನ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ನೀವು ಇಲ್ಲಿ⁠(ಹೊಸ ಕಿಟಕಿಯಲ್ಲಿ ತೆರೆಯುತ್ತದೆ) ಕಾಣಬಹುದು.

$n$ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ (ಪ್ಲೇನ್), ಯೂನಿಟ್-ಡಿಸ್ಟೆನ್ಸ್ ಜೋಡಿಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯು $u(n)$ ಆಗಿರಲಿ ರೇಖೀಯ ವೃದ್ಧಿದರವನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಸುಲಭ: $n$ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಂದು ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಇಟ್ಟರೆ $n-1$ ಜೋಡಿಗಳು ಸಿಗುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಚೌಕ ಜಾಲವು ಸುಮಾರು $2n$ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮರುಮಾಪಿತ ಚೌಕ ಜಾಲದಿಂದ ಬಂದಿದ್ದ, ಹಿಂದೆ ತಿಳಿದಿದ್ದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ನಿರ್ಮಿತಿ, ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ: ಒಂದು ಸ್ಥಿರಾಂಕ $C$ ಗಾಗಿ $n^{1 + C / \log \log(n)}$. $\log \log(n)$ ಎಂಬುದು $n$ ಜೊತೆಗೆ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಸಾಗುವುದರಿಂದ, ಘಾತದಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದವು $0$ ಕಡೆ ಸಾಗುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ ಈ ನಿರ್ಮಿತಿಗಳು ರೇಖೀಯಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪವೇ ವೇಗವಾಗಿ ವೃದ್ಧಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುತ್ತವೆ. ದಶಕಗಳ ಕಾಲ, ಈ ದರವೇ ಮೂಲತಃ ಸಾಧ್ಯವಾದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ದರ ಎಂದು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ನಂಬಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು; ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಮಿತಿಯೂ ಚೌಕ ಜಾಲಕ್ಕಿಂತ ಗಮನಾರ್ಹ ಸುಧಾರಣೆ ನೀಡಲಾರದು ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎರ್ಡೋಶ್ $n^{1+o(1)}$ ಎಂಬ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಊಹಿಸಿದ್ದರು; ಇಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ $o(1)$ ಎಂದರೆ $n$ ಜೊತೆಗೆ $0$ ಕಡೆ ಸಾಗುವ ಪದ.

ನಮ್ಮ ಹೊಸ ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಖಂಡಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ $n$ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಈ ಪ್ರಮಾಣವು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಘಾತ $\delta > 0$ ಗಾಗಿ ಕನಿಷ್ಠ $n^{1+\delta}$ ಏಕಕ-ಅಂತರ ಜೋಡಿಗಳಿರುವ $n$ ಬಿಂದುಗಳ ವಿನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆ. (ಮೂಲ AI ಪ್ರಮಾಣವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ $\delta$ ಅನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್ ಗಣಿತ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕ ವಿಲ್ ಸಾವಿನ್ ಅವರ ಮುಂಬರುವ ಪರಿಷ್ಕರಣೆ $\delta=0.014$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ.)

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹಿನ್ನೆಲೆಯು ಫಲಿತಾಂಶವು ಏಕೆ ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿ ತಿಳಿದಿದ್ದ ಕೆಳಮಿತಿ, ಎರ್ಡೋಶ್ ಅವರ ಮೂಲ 1946ರ ನಿರ್ಮಿತಿಯಿಂದಲೂ ಬಹುತೇಕ ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿದಿತ್ತು. ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮೇಲ್ಮಿತಿ $O(n^{4/3})$ 1984ರಲ್ಲಿ ಸ್ಪೆನ್ಸರ್, ಸೆಮೆರೆಡಿ ಮತ್ತು ಟ್ರಾಟರ್ ಅವರ ಕೆಲಸದಿಂದ ಬಂದಿದೆ; ನಂತರ ಸೇಕೆಲಿ, ಕ್ಯಾಟ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸಿಲಿಯರ್, ಪಾಕ್, ರಾಜ್ ಮತ್ತು ಸೋಲಿಮೋಸಿ ಹಾಗೂ ಇತರರ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ರಚನಾತ್ಮಕ ಕೆಲಸಗಳಿದ್ದರೂ, ಮೇಲ್ಮಿತಿ ಬಹುತೇಕ ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿದಿದೆ. ಊಹೆಗೆ ಅನುಕೂಲವಾದ ಸಾಕ್ಷಿಯಾಗಿ, ಮತೌಶೆಕ್ ಮತ್ತು ಅಲೋನ್-ಬುಚಿಚ್-ಸೌರ್ಮನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಅಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಂತರಗಳೊಂದಿಗೆ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿ, ಈ ಅಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಂತರಗಳ “ಬಹುತೇಕ”ವು ಯಾವುದೋ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಆ ಊಹೆಯನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು.

ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿ, ಈ ನಿರ್ಮಿತಿಯ ಮುಖ್ಯ ಅಂಶಗಳು ಬೀಜಗಣಿತೀಯ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತವೆಂಬ ಗಣಿತದ ಬಹಳ ವಿಭಿನ್ನ ಭಾಗದಿಂದ ಬರುತ್ತವೆ; ಇದು ಬೀಜಗಣಿತೀಯ ಸಂಖ್ಯಾ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಘಟಕೀಕರಣದಂತಹ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ನೋಡಿದರೆ, ಈ ಪ್ರಮಾಣವು ಪರಿಚಿತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ ಅದನ್ನು ಅನಿರೀಕ್ಷಿತ ದಿಕ್ಕಿಗೆ ಒಯ್ಯುತ್ತದೆ.

ಎರ್ಡೋಶ್ ಅವರ ಮೂಲ ಕೆಳಮಿತಿಯನ್ನು ಗಾಸಿಯನ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು: $a+bi$ ರೂಪದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಇಲ್ಲಿ $a$ ಮತ್ತು $b$ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು, ಮತ್ತು $i$ ಎಂದರೆ $-1$ ರ ವರ್ಗಮೂಲ. ಗಾಸಿಯನ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಂತೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಏಕೈಕ ಘಟಕೀಕರಣದಂತಹ ಗುಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಅಥವಾ ಪರಿಮೇಯಗಳ ಇಂತಹ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತೀಯ ಸಂಖ್ಯಾ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೊಸ ವಾದವು ಗಾಸಿಯನ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಬದಲು, ಹೆಚ್ಚು ಸಮೃದ್ಧ ಸಮಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಏಕಕ-ಉದ್ದದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಬಲ್ಲ ಬೀಜಗಣಿತೀಯ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.

ನಿಖರವಾದ ವಾದವು ಅನಂತ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಗೋಪುರಗಳು ಮತ್ತು ಗೋಲೋಡ್–ಶಫರೆವಿಚ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಂತಹ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ವಾದಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸಂಖ್ಯಾ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಬೀಜಗಣಿತೀಯ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತಜ್ಞರಿಗೆ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಪರಿಚಿತವಾಗಿದ್ದರೂ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಇವು ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ದೊಡ್ಡ ಆಶ್ಚರ್ಯವಾಗಿತ್ತು.

ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು AI ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಹತ್ವದ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ: ಸಕ್ರಿಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿರುವ ದೀರ್ಘಕಾಲದ ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದು AI ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿದೆ. ಇದು AI ಮತ್ತು ಮಾನವ ಗಣಿತಜ್ಞರ ನಡುವಿನ ಹೊಸ ರೀತಿಯ ಸಹಕಾರದ ಆರಂಭಿಕ ಝಲಕವನ್ನೂ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹೊರಗಿನ ಗಣಿತಜ್ಞರ ಸಹಾಯಕ ಕೆಲಸವು ಮೂಲ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಿಂತ ಬಹಳ ಸಮೃದ್ಧ ಚಿತ್ರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಥಾಮಸ್ ಬ್ಲೂಮ್ ಸಹಾಯಕ ಟಿಪ್ಪಣಿಯಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ:

“AI ರಚಿಸಿದ ಪ್ರಮಾಣದ ಮಹತ್ವ ಮತ್ತು ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವಾಗ, ನಾನು ನನ್ನನ್ನು ಕೇಳಿಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಶ್ನೆ ಹೀಗಿದೆ: ಇದು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ನಮಗೆ ಏನಾದರೂ ಹೊಸದನ್ನು ಕಲಿಸಿತೇ? ಈಗ ನಾವು ವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಇನ್ನಷ್ಟು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೇವೇ? ನನ್ನ ಅನಿಸಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವು ಮಿತವಾದ ಹೌದು: ಈ ರೀತಿಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತಾಧಾರಿತ ನಿರ್ಮಿತಿಗಳು ನಾವು ಊಹಿಸಿದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಬಹಳ ಹೆಚ್ಚು ಹೇಳಬಲ್ಲವು ಎಂಬುದನ್ನು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ; ಇನ್ನೂ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಬಹಳ ಆಳವಾಗಿರಬಹುದು. ಮುಂದಿನ ತಿಂಗಳುಗಳಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಬೀಜಗಣಿತೀಯ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತಜ್ಞರು ವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಇತರ ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಮೀಪದಿಂದ ಪರಿಶೀಲಿಸುವರು ಎಂಬುದರಲ್ಲಿ ಸಂಶಯವಿಲ್ಲ.”

ಪರಿಹಾರವು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಿದ ಬೀಜಗಣಿತೀಯ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ನಡುವಿನ ಅನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಂಪರ್ಕವೇ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಕೇವಲ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಊಹೆಯನ್ನು ತೀರ್ಮಾನಿಸುವುದಲ್ಲ; ಬದಲಾಗಿ, ಇನ್ನಷ್ಟು ಸಂಬಂಧಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಲು ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಒಂದು ಸೇತುವೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಬಹುದು.

ಬ್ಲೂಮ್ ಇನ್ನೂ ವಿಶಾಲವಾದ ಸಾಧ್ಯತೆಯತ್ತ ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ:

“ಜ್ಞಾನದ ಹರವು ಅತ್ಯಂತ ವಿಶಾಲವಾಗಿದೆ. ನಿಸ್ಸಂದೇಹವಾಗಿ ಮುಂದಿನ ತಿಂಗಳು ಮತ್ತು ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಇತರ ಹಲವು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲೂ ಇಂತಹದ್ದೇ ಯಶಸ್ಸನ್ನು ನಾವು ಕಾಣಲಿದ್ದೇವೆ. ದೀರ್ಘಕಾಲದಿಂದ ಬಾಕಿ ಉಳಿದಿರುವ ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು, ಎಐ (AI) ಅನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಅನಾವರಣಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತ ತಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಮಿತಿಯವರೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲಿದೆ. ಶತಮಾನಗಳಿಂದ ನಾವು ನಿರ್ಮಿಸಿರುವ ಗಣಿತದ ಈ ಮಹಾನ್ ಸೌಧವನ್ನು ಇನ್ನಷ್ಟು ಆಳವಾಗಿ ಅನ್ವೇಷಿಸಲು ಎಐ ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತಿದೆ. ಹಾಗಾದರೆ, ಇನ್ನು ಯಾವೆಲ್ಲಾ ಅದೃಶ್ಯ ಅದ್ಭುತಗಳು ನಮಗಾಗಿ ಕಾಯುತ್ತಿರಬಹುದು?”

ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದು ಆಶಾದಾಯಕ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ: ಎಐ (AI) ಕೇವಲ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀಡುತ್ತಿಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ಮಾನವನ ನಿರಂತರ ತಿಳುವಳಿಕೆಯ ಮೂಲಕ ಇನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟ ಮತ್ತು ಶ್ರೀಮಂತವಾಗಬಲ್ಲ ಗಣಿತದ ಹೊಸ ಆವಿಷ್ಕಾರಕ್ಕೂ ತನ್ನ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತಿದೆ.

ಇದರಿಂದ ಪಡೆಯಬೇಕಾದ ಸಾರಾಂಶವು ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದು. ಉತ್ತಮ ಗಣಿತದ ತಾರ್ಕಿಕ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು (ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ರೀಸನಿಂಗ್) ಎಐ (AI) ಅನ್ನು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಸಂಶೋಧನಾ ಪಾಲುದಾರನನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಬಲ್ಲದು. ಇದು ಕಠಿಣವಾದ ಆಲೋಚನೆಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಜೋಡಿಸಲು, ಜ್ಞಾನದ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ನಡುವೆ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಬೆಸೆಯಲು, ತಜ್ಞರು ಗಮನಹರಿಸದ ಉತ್ತಮ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಮುನ್ನೆಲೆಗೆ ತರಲು ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಶೋಧಕರು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪ್ರಗತಿ ಸಾಧಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಆ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳು ಗಣಿತದಾಚೆಯೂ ಮಹತ್ವವುಳ್ಳವು. ಒಂದು ಮಾಡೆಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ವಾದವನ್ನು ಸುಸಂಬದ್ಧವಾಗಿ ಇರಿಸಲು, ಜ್ಞಾನದ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ನಡುವೆ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಬೆಸೆಯಲು ಮತ್ತು ತಜ್ಞರ ಪರಿಶೀಲನೆಯಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗುವಂತಹ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡಲು ಶಕ್ತವಾದರೆ, ಆ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳು ಜೀವವಿಜ್ಞಾನ (ಬಯಾಲಜಿ), ಭೌತವಿಜ್ಞಾನ (ಫಿಸಿಕ್ಸ್), ಮೆಟೀರಿಯಲ್ಸ್ ಸೈನ್ಸ್, ಇಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ವೈದ್ಯಕೀಯ (ಮೆಡಿಸಿನ್) ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲೂ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗುತ್ತವೆ. ಇವು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಸಂಶೋಧನೆಯ (ಆಟೋಮೇಟೆಡ್ ರಿಸರ್ಚ್) ಕಡೆಗಿನ ನಮ್ಮ ದೀರ್ಘಕಾಲೀನ ಪ್ರಯಾಣದ ಭಾಗವಾಗಿವೆ: ಅಂದರೆ, ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಮತ್ತು ಇಂಜಿನಿಯರ್‌ಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಲು ಹಾಗೂ ಹೆಚ್ಚು ಕಠಿಣವಾದ ತಾಂತ್ರಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡಬಲ್ಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಸಂಶೋಧನೆಯ ಸೃಜನಾತ್ಮಕ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ AI ಸಂಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ, AI ಬಹಳ ಗಂಭೀರ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸಲು ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಗತಿ ಅನಿರೀಕ್ಷಿತವಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, AI ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಈ ಮುಂದಿನ ಹಂತವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯತೆಯನ್ನು, ಅತ್ಯಂತ ಬುದ್ಧಿವಂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಮಾಡುವ ಸವಾಲುಗಳನ್ನು, ಮತ್ತು ಮಾನವ-AI ಸಹಕಾರದ ಭವಿಷ್ಯವನ್ನು ಕುರಿತು ನಾವು ಅನುಭವಿಸುವ ತುರ್ತುಭಾವವನ್ನು ಇದು ಮತ್ತಷ್ಟು ಬಲಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ಆ ಭವಿಷ್ಯವು ಇನ್ನೂ ಮಾನವನ ನಿರ್ಧಾರದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ (ಹ್ಯೂಮನ್ ಜಡ್ಜ್‌ಮೆಂಟ್) ಮೇಲೆಯೇ ನಿರ್ಭರವಾಗಿದೆ. ನಿಪುಣತೆ ಅಥವಾ ತಜ್ಞತೆ (ಎಕ್ಸ್‌ಪರ್ಟೀಸ್) ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಹೆಚ್ಚು ಮೌಲ್ಯಯುತವಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಹೊರತು, ಅದರ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. AI ಹುಡುಕಲು, ಸೂಚಿಸಲು ಮತ್ತು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡಬಹುದು. ಜನರು ತಮಗೆ ಮುಖ್ಯವೆನಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಮುಂದೆ ಯಾವ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ಕುರಿತು ಕೆಲಸ ಮಾಡಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತಾರೆ.