Математика мен теориялық информатикадағы он жетістік

Біз ғалымдар мен математиктерге жаңалық ашуды жеделдететін құралдар бергіміз келеді. Сондықтан жуырда 100 000 ғалым мен математикке ең үздік ChatGPT модельдерімізді тегін пайдалануға мүмкіндік беретін Академиялық зерттеушілерге арналған ChatGPT⁠ бастамасын жарияладық. Сондай-ақ әзірлеу барысында модельдерімізді шешілмеген зерттеу мәселелері арқылы бағалауды жалғастырып келеміз.

Мамыр айында әлі шығарылмаған модельді бағалау кезінде анықталған Эрдёштің бірлік қашықтық болжамын ЖИ жасаған теріске⁠ шығаруды жарияладық. Бұл жұмыс математика мен теориялық информатика салаларындағы кейінгі зерттеулерге қазірдің өзінде серпін берді. Бүгін біз әрқайсысы бұрыннан шешілмей келе жатқан мәселені толық шешетін немесе оны шешуде елеулі ілгерілеуге қол жеткізетін он нәтижені ұсынамыз. Бұл мәселелер жоғары өлшемді геометрияны, кодтау теориясын, арифметикалық схемалардың күрделілігін, топтар теориясын, операторлар алгебрасын, кванттық күрделілікті, торлық криптографияны және экстремалдық комбинаториканы қамтиды. Бұл мәселелердің барлығы тиісті математикалық қауымдастықтар үшін аса маңызды, ал олардың бірнешеуі жалпы математика саласында кеңінен қызығушылық тудырады.

Төмендегі мәселелер бойынша жаңа нәтижелер ұсынамыз. Бұл нәтижелерге келесі ірі моделіміз Astra-ның ішкі нұсқасы қол жеткізді. Бұл мәселелердің шешімдерін табуға қажет токендердің жалпы құны Sol API тарифтері бойынша шамамен 2 000 доллар болар еді. Содан кейін адамдар сол модельдің көмегімен бұл дәлелдерді қолжазба түрінде рәсімдеді. Одан кейін модель әр дәлелді Lean сертификаты⁠(жаңа терезеде ашылады) түрінде формалдандырды. Сондай-ақ әр шешімге қатысты модельдің өз ойлау үдерісін баяндауын жариялап отырмыз.

1. Жоғары өлшемді кеңістікте сфераларды қаптау. Сфераларды қаптау тығыздығының Кон–Элкис шегіне дейін төмендетілген жаңа жоғарғы шектері.
2. Екілік және сфералық кодтар: берілген кез келген ең аз қашықтық үшін екілік кодтардың мүмкін болатын ең үлкен мөлшеріне қатысты шектерді экспоненциалды түрде жақсарту және жоғары өлшемді сфералық кодтар бойынша осыған ұқсас нәтижелер.
3. Софик емес топтар. Топтар теориясындағы негізгі шешілмеген мәселені қарастырып, софик емес топтардың бар екенін дәлелдейтін конструкция.
4. Коннның қатаңдық болжамы. Белгілі бір топтарды олардың фон Нейман алгебралары бірмәнді түрде анықтайды деген бұрыннан келе жатқан болжамды терістеу.
5. Арифметикалық схемалардың күрделілігі. Перманентті арифметикалық схемалар мен формулалар арқылы есептеудің жаңа төменгі шектері, соның ішінде арифметикалық формулалар үшін n⁴/log n ретті төменгі шек.
6. Кванттық параллель қайталау. Классикалық күрделілік теориясының іргелі қағидасын кеңейтетін, екі ойыншыға арналған жалпы кванттық ойындардың экспоненциалды параллель қайталау теоремасы.
7. Ең жақын вектор мәселесі. Посткванттық криптографиямен байланысты торлар теориясының іргелі мәселесі — ең жақын вектор мәселесін полиномдық көбейткіш шегінде жуықтаудың есептеу қиындығы.
8. Эрхарттың көлем туралы болжамы. Әр өлшемде ауырлық орталығы оның ішіндегі жалғыз тор нүктесі болатын дөңес дененің мүмкін ең үлкен көлемін анықтау.
9. Көптүсті Рамсей сандары. Эрдёштің 183-мәселесін шешетін, көптүсті үшбұрыштардың Рамсей сандарына арналған суперэкспоненциалды төменгі шек.
10. Экстремалдық сандар туралы болжамдар. Экстремалдық графтар теориясындағы компактылық және дегенеративтілік туралы болжамдарға қатысты, Эрдёштің 146 және 180-мәселелерін шешетін нәтижелер.

Математикалық зерттеулерге үлес қоса алатын жүйелердің пайда болуы бір ғана технологиялық компания жауап бере алмайтын сұрақтарды туындатады. ЖИ-дің математикадағы рөлі туралы пікір көп. Біз оның ықпалына алаңдайтын адамдарды, соның ішінде ЖИ және математика жөніндегі Лейден декларациясына⁠(жаңа терезеде ашылады) қол қойғандарды терең түсінеміз әрі құрметтейміз. Біздіңше, авторлық үлес нәтиженің қалай алынғанын адал көрсетуі керек: ЖИ жүйесі толықтай жасаған дәлелді адам жазды деу жүйенің үлесін де, адамның шынайы зияткерлік еңбегінің табиғатын да бұрмалаған болар еді. Біз қолжазбаларды дайындауға және дәлелдерді Lean жүйесінде формалдандыруға көмектестік әрі олардың дұрыстығына жауап береміз, ал математикалық дәлелдердің өзін жүйеміз жасады. Математикалық қауымдастық бұл нәтижелерді терең зерделеп, оларды тиісті мәнмәтінге орналастырады және негізіндегі идеяларды жаңа зерттеулер мен жаңалықтар арқылы жүзеге асырады деп үміттенеміз.

ЖИ жүйелері барған сайын жетілген зерттеу серіктестеріне айналып келе жатқандықтан, оларға кеңінен қолжетімділікті қамтамасыз ету — осы түбегейлі өзгерістер дәуірінде өз салаларының болашағын бағдарлап, айқындап жатқан ғалымдар мен математиктерді қолдаудың негізгі шарты.