Навье–Стокс бойынша Мыңжылдық сыйлығы мәселесі туралы

Біз Мыңжылдық сыйлығы мәселелерінің бірі — Навье–Стокс теңдеулерінің шешімінің бар болуы мен тегістігі мәселесінің шешімін ұсынамыз. OpenAI-дың ішкі жүйесі жасаған бұл дәлел сұйықтық қозғалысын сипаттайтын Навье–Стокс теңдеулерінің динамикасында ақырлы уақытта сингулярлық пайда болуы мүмкін екенін көрсетеді. Біз дәлелдің жазбаша нұсқасын да, Lean жүйесіндегі формализациясын да жариялап отырмыз.

Мыңжылдық сыйлығы мәселелері⁠(жаңа терезеде ашылады) — математиканың алдыңғы шебіндегі ең терең мәселелердің бірі. Үш өлшемді тегіс сұйықтық қозғалысы бұзылуы мүмкін бе деген сұрақ шамамен 90 жыл бойы шешілмей келеді.

Жұмысымыздың басты мақсаттарының бірі — ғалымдарға бүкіл адамзатқа пайда әкелетін зерттеулер мен технологияларды ілгерілетуге мүмкіндік беру. Навье–Стокс мәселесін шешу үшін біз GPT‑6 Astra-дан едәуір қабілетті ішкі модельді қолдандық. Жұртшылықты ЖИ дамуының қарқыны және алдағы модельдерден не күтуге болатыны туралы хабардар ету маңызды деп санаймыз.

Навье–Стокс теңдеулері сұйықтықтардың қозғалысын сипаттау үшін Ньютонның екінші заңын («F=ma») қолданады. Маңыздысы — бұл теңдеулер жеке молекулаларды бақыламай, сұйықтықты үздіксіз орта ретінде қарастырады. Бұл теңдеулер ұшақтарды жобалауда, ауа райын болжауда және қан ағысын зерттеуде қолданылады.

Осы динамикалық теңдеулерге қатысты негізгі ашық сұрақ — сұйықтықтың үздіксіз орта ретіндегі жуықтауы бұзылуы мүмкін бе деген мәселе. Нақтырақ айтсақ, қозғалыс бастапқыда тегіс болса да, тығыздығы тұрақты үш өлшемді сығылмайтын сұйықтыққа арналған Навье–Стокс теңдеулерінде «сингулярлық» пайда болуы мүмкін бе? Мұнда сингулярлық дегеніміз — динамика салдарынан сұйықтық жылдамдығының ақырлы уақыт ішінде шексіз өсуі. Сингулярлық қозғалысты тегістеуге бейім тұтқырлықтың болуына қарамастан пайда болуы тиіс. Нақты сұйықтық шексіз жылдам қозғала алмайтындықтан, бұл теңдеулердің сұйықтықты модельдеу тәсілінің бұзылғанын білдіреді. Жүйені әрі қарай модельдеу үшін әр бөлшектің қозғалысын жеке бақылау қажет болар еді.

Бұл теңдеулер Клод-Луи Навье мен Джордж Габриель Стокстың XIX ғасырдағы еңбектерінен бастау алады. 1934 жылы Жан Лере шешімдердің жалпыланған мағынада бар екенін дәлелдеді, алайда олардың әрқашан тегіс болып қала ма деген сұрақ негізгі шешілмеген мәселенің біріне айналды. 2000 жылы Клэй математика институты Навье–Стокс теңдеулері шешімінің бар болуы мен тегістігі мәселесін Мыңжылдық сыйлығының жеті мәселесінің бірі деп атады.

Жүйеміз бастапқыда тыныштықта әрі тегіс болған сұйықтықта ақырлы уақытта сингулярлық пайда болуы мүмкін екенін көрсететін аналитикалық дәлел мен Lean формализациясын жасады. Сұйықтыққа тегіс күш әсер етеді, ал оның энергиясы тыныштық күйінен сингулярлық пайда болғанға дейінгі бүкіл динамика барысында ақырлы болып қалады. Бұл Мыңжылдық сыйлығының ресми тұжырымындағы⁠(жаңа терезеде ашылады)«C» (сондай-ақ «D») тұжырымдарын дәлелдеу арқылы Навье–Стокс мәселесін шешеді.

Шешім — ішке қарай шиыршықталып, спагетти секілді барған сайын созыла беретін айналмалы сұйықтық иірімі. Бұл орталық аймақ кішірейіп, жылдамдайды, бірақ физика заңдары талап еткендей, оның энергиясы ақырлы болып қалады. Техникалық қиындық — теңдеулердегі бұзылыс, мысалы, шексіз күшті қолдан енгізуімізден емес, сұйықтықтың өз қозғалысынан туындауы керек. Математикалық тұрғыдан айтқанда, Навье–Стокс теңдеулеріндегі қозғалысты сипаттайтын мүшелер — үдеу, қысым градиенттері, импульс тасымалы және тұтқырлық — бір мезетте үлкейіп, әрі дәлме-дәл бірін-бірі теңгеруі керек. Осы дәл тепе-теңдіктің арқасында сұйықтық жылдамдығы шексіз артса да, сыртқы күш тегіс болып қалады.

28 тамыздан бері біз сынақтарымызда, соның ішінде математикада бұрын-соңды болмаған нәтиже көрсеткен жаңа ішкі модельді оқытып келеміз. Бұл модельді оқыту жалғасып жатыр және оның өнімділігі арта түсуде.

Сейсенбі, 1 қыркүйекте Мыңжылдық сыйлығының екі мәселесі шешілді деген қауесет естідік. Осы қауесет пен ішкі моделіміздің өнімділігіндегі күрт серпілістен шабыттанып, оны Мыңжылдық сыйлығының барлық ашық мәселесінде және ықпалы жоғары бірнеше басқа есепте бағалау жұмысын бастадық.

Біз ішкі моделіміз басқаратын, өзара үйлесімді жұмыс істейтін агенттер жүйесін қолдандық. Агенттер интернеттің кэштелген нұсқасын оқу және кодты іске қосу сияқты құралдарды пайдалана алды. Агенттер топ ішінде байланыса алатын топтарға бөлінді. Топтардың көлемі әртүрлі болды, ал Навье–Стокс шешімін жасаған топта бір мезгілде шамамен 10 000 агент жұмыс істеді. Біз озық модельдерді бағалаудың бәрінде қолданылатын қатаң қауіпсіздік шараларын, соның ішінде бақылау мен оқшаулауды үнемі сақтадық.

Әр мәселе бойынша агенттердің әртүрлі топтарына мәселе тұжырымының барлық нұсқасын қамтитын түрлі нұсқалар бердік. Навье–Стокс мәселесі бойынша агенттердің бөлек топтарына «A» және «B» нұсқаларын (дәлелдеуге әкелетін нақты түрлерін), сондай-ақ «C» және «D» нұсқаларын (теріске шығаруға әкелетін түрлерін) ұсындық.

Мыңжылдық сыйлығының толық мәселелерімен қатар, көп агентті жүйемізге «оңайырақ» мәселелер жинағын шешуді тапсырдық. Солардың бірі Навье–Стокс мәселесінен тұтқырлық мүшесі алынып тасталған шектік жағдайда ақырлы уақытта сингулярлықтың пайда болуы туралы ұқсас мәселе еді. Бұл Эйлер теңдеулерінің регулярлық мәселесі ретінде белгілі, ал агенттеріміз осы сұрақты шешіп, бізді таңғалдырды. Олар шешкен нақты нұсқада сұйықтыққа сыртқы күш әсер етпейді. 100-ге жуық агент шамамен 50 сағат бірлесіп жұмыс істеп, Эйлер регулярлығын теріске шығаратын дәлелімізді жасады¹.

Эйлер шешімін көргеннен кейін, Навье–Стокс мәселесін әрі қарай жұмыс істеуге ең перспективалы мәселе деп санадық. Сондықтан ресурстарымызды Навье–Стокс мәселесіне жұмсауды шештік. Ол үшін агенттерді Мыңжылдықтың басқа мәселелерінен ауыстырып, оларға Эйлер шешімін ұсындық. Жұмыс барысында ішкі моделіміздің қосымша оқытылған нұсқасы қолжетімді болғанда, агенттерімізді сол модельге көшірдік.

Агенттердің әртүрлі топтарын сан алуан тәсілді зерттеуге ынталандырдық. Біраз уақыттан кейін әр агент тобының ең пайдалы тұжырымдарын Codex арқылы біріктіріп, топтар арасында идея алмасуын ұйымдастырдық. Кейінгі тапсырмалар агенттердің өз аралық нәтижелеріне негізделді. Навье–Стокс шешімін тапқан топқа да осылай бағыт берілді.

Агенттер шешімге сенбі, 5 қыркүйекте, алғашқы агенттер іске қосылғаннан кейін шамамен 88 сағат өткенде келді. Lean жүйесінде формализациялау және GPT‑6 Astra арқылы тексеру тағы 17 сағатқа созылды.

Барлық қарастырылған мәселе бойынша агенттер 4,9 миллион хабарлама жіберіп, шамамен 300 миллиард шығыс токенін пайдаланды. Навье–Стокс мәселесін шешу барысында агенттер 2,7 миллион хабарлама жіберіп, шамамен 130 миллиард шығыс токенін пайдаланды.

Жұмысымыз 1 қыркүйекте естіген қауесеттен кейін басталды. Кейін оның Anthropic қызметкері Левент Альпёге мен NYU математика профессоры Тристан Бакмастерге қатысты екенін білдік.² Толық жобамыз бен Lean тексеруі аяқталған соң (6 қыркүйекте), қауесетке сүйеніп, оларда да Навье–Стокс шешімі бар деп ойладық. Сондықтан нәтижелерімізді қатар жариялауды ұсынып, бірлескен мәлімдемеде олардың ғылыми алғашқылығын мойындау үшін хабарластық. Сол кезде олардың Anthropic-тің ішкі моделін пайдаланып, сыртқы күш әсер ететін Эйлер мәселесінің шешімін жасағанын білдік. Осы талқылауларда біз оларға қолданған тапсырмаларымыздың бәрін, кейінірек дәлелді де көру мүмкіндігін ұсындық. Олардың сыртқы күш әсер ететін Эйлер мәселесі жөніндегі жұмысының ғылыми алғашқылығын мойындаймыз және осы тамаша математикалық жетістігімен құттықтаймыз.

Біз де (зерттеушілер мен агенттер де) олар жұмысын жариялағанға дейін оны ешбір жолмен көрген жоқпыз — атап айтқанда, бұл мәселені шешу үшін нақты пайдаланушы деректеріне қол жеткізілген жоқ.

Тергеу нәтижесінде Бакмастердің 2026 жылғы 8 қыркүйектегі осы мәлімдеме мен мақалаға дейінгі екі айда Codex-ке берген көмексөздері жүйеге, соның ішінде оқыту арқылы да еш ықпал ете алмағанын растадық. Осы нәтиже үшін қолданылған OpenAI ішкі моделі бұрын алдын ала оқытылған модельдің негізінде ауқымды күшейтпелі оқыту арқылы әзірленді. Біздің дәлелдеріміз де айтарлықтай ерекшеленеді. Эйлер жағдайында Альпёге мен Бакмастер сыртқы күш әсер ететін нәтижені, ал OpenAI жүйесі сыртқы күшсіз нәтижені дәлелдеді.

Бұл нәтижені жариялаудағы мақсатымыз — ЖИ модельдеріміздің елеулі ілгерілеуі туралы хабарлау. Бұл нәтиже үшін Мыңжылдық сыйлығын алуға талаптануды көздемейміз.

Бұл маңызды белес математиктер мен ЖИ зерттеушілерінің ауқымды еңбегін көрсетеді. Алайда бұл шарықтау шегі емес, ЖИ әзірлеудегі ілгерілеудің белгілі бір сәттегі көрінісі ғана.

Біз қазір ЖИ дамуының келесі кезеңіне өттік деп санаймыз⁠, ал бүгінгі нәтижелер мұны тағы да растайды. Біз осы модельді түсінуге және одан үйренгенімізді қабілеттерді одан әрі дамыту бағыты мен қарқынын айқындауға пайдалануға назар аударып отырмыз. Біздің негізгі мақсаттарымыздың⁠ бірі — басқаруға болатын, жауапкершілігі айқын және адамдармен тығыз байланыстағы ЖИ жүйелерін құру. AGI бүкіл адамзатқа пайда әкелуін қамтамасыз ету миссиямызды жалғастыра отырып, бұл үшін ілгерілеу қарқынына қатысты барынша байыпты шешімдер қабылдау қажет болуы мүмкін.