OpenAI моделі дискретті геометриядағы негізгі жорамалды теріске шығарды

Шамамен 80 жыл бойы математиктер сырттай қарағанда қарапайым бір сұрақты зерттеп келеді: егер жазықтыққа $n$ нүкте орналастырсаңыз, нүктелердің қанша жұбының арақашықтығы дәл $1$-ге тең бола алады?

Бұл — жазықтықтағы бірлік қашықтық мәселесі, оны алғаш рет 1946 жылы Пол Эрдёш қойған. Бұл комбинаторлық геометриядағы ең танымал сұрақтардың бірі: тұжырымдауы оңай, ал шешуі таңғаларлықтай қиын. Брасс, Мозер және Пахтың 2005 жылғы Research Problems in Discrete Geometry кітабында ол «комбинаторлық геометриядағы, бәлкім, ең танымал (және түсіндіруге ең оңай) есеп» деп аталады. Принстондағы жетекші комбинаторика маманы Нога Алон оны «Эрдёштің сүйікті есептерінің бірі» деп сипаттайды. Эрдёш бұл мәселені шешкені үшін тіпті ақшалай сыйлық та ұсынған.

Бүгін біз бірлік қашықтық есебіндегі серпіліспен бөлісеміз. Эрдёштің бастапқы жұмысынан бері төменде көрсетілген «шаршы тор» құрылымдары бірлік қашықтықтағы жұптар санын барынша арттыру үшін іс жүзінде оңтайлы деген басым сенім болды. OpenAI-дың ішкі моделі бұл көптен бергі жорамалды теріске шығарып, полиномдық жақсарту беретін мысалдардың шексіз отбасын ұсынды. Дәлелді сыртқы математиктер тобы тексерді. Олар сондай-ақ дәлелдің мәнін түсіндіретін және нәтиженің маңызына қатысты қосымша негіз бен контекст беретін ілеспе мақала жазды.

Нәтиженің қалай табылғаны да назар аударарлық. Дәлел математикаға арнайы дайындалған, дәлел стратегияларын іздеу үшін қосымша құрылымдармен жабдықталған немесе нақты бірлік қашықтық есебіне бағытталған жүйеден емес, жалпы мақсаттағы жаңа ойлайтын модельден шықты. Жетілдірілген модельдердің озық зерттеулерге үлес қоса алатынын тексеруге бағытталған кеңірек жұмыстың бір бөлігі ретінде біз оны Erdős есептерінің жинағында бағаладық. Осы жағдайда ол ашық есепті шешетін дәлел ұсынды.

Бұл дәлел математика мен ЖИ қауымдастықтары үшін маңызды белес. Бұл — математиканың бір ішкі саласы үшін орталық мәні бар көрнекті ашық есептің алғаш рет ЖИ арқылы автономды түрде шешілуі. Бұл сондай-ақ осы жүйелер қазір қолдайтын ой қорыту тереңдігін көрсетеді. Математика ой қорыту үшін ерекше айқын сынақ алаңын береді: есептер нақты, ықтимал дәлелдерді тексеруге болады, ал ұзақ дәлел тек ой қорыту басынан аяғына дейін тұтас сақталса ғана жұмыс істейді. Есептің шешілу тәсілі де назар аударарлық. Дәлел элементар геометриялық сұраққа алгебралық сандар теориясынан күтпеген әрі күрделі идеяларды қолданады.

Ілеспе мақалада жазған Филдс медалінің иегері Тим Гауэрс бұл нәтижені «ЖИ математикасындағы белес» деп атайды. Жетекші сандар теоретигі Арул Шанкардың айтуынша, «Менің ойымша, бұл мақала қазіргі ЖИ модельдері адам математиктеріне жай ғана көмекші болудан асып түсетінін көрсетеді — олар түпнұсқа тапқыр идеялар ұсына алады, содан кейін оларды толық іске асыра алады».

Дәлел мұнда⁠(жаңа терезеде ашылады) қолжетімді. Жетекші сыртқы математиктер жазған ілеспе мақала мұнда⁠(жаңа терезеде ашылады) қолжетімді. Модельдің ойлау тізбегінің қысқартылған нұсқасын мұнда⁠(жаңа терезеде ашылады) таба аласыз.

$u(n)$ жазықтықтағы $n$ нүкте арасындағы бірлік қашықтықтағы жұптардың мүмкін болатын ең үлкен саны болсын. Сызықтық өсу қарқынына жететін мысалдарды құру оңай: $n$ нүктені бір түзуге орналастыру $n-1$ жұп береді, ал шаршы тор шамамен $2n$ жұп береді. Бұрыннан белгілі ең жақсы құрылым, яғни масштабы өзгертілген шаршы тордан шыққаны, одан да көп нәтиже беретіні анықталды: тұрақты $C$ үшін $n^{1 + C / \log \log(n)}$. $\log \log(n)$ шамасы $n$-мен бірге шексіздікке ұмтылатындықтан, дәреже көрсеткішіндегі қосымша мүше $0$-ге ұмтылады, яғни бұл құрылымдар сызықтықтан сәл ғана жылдамырақ өсуді қамтамасыз етеді. Ондаған жылдар бойы бұл қарқын іс жүзінде мүмкін болатын ең жақсысы деп кеңінен сенілді және ешбір құрылым шаршы тордан айтарлықтай жақсы бола алмайды деп есептелді. Техникалық тілмен айтқанда, Эрдёш $n^{1+o(1)}$ түріндегі жоғарғы шекті жорамалдады, мұндағы қосымша $o(1)$ $n$-мен бірге $0$-ге ұмтылатын мүшені білдіреді.

Біздің жаңа нәтиже бұл жорамалды теріске шығарады. Дәлірек айтқанда, $n$-нің шексіз көп мәндері үшін дәлел $n$ нүктеден тұратын, кемінде $n^{1+\delta}$ бірлік қашықтықтағы жұптары бар конфигурацияларды құрады, мұнда $\delta > 0$ — қандай да бір тұрақты дәреже көрсеткіші. (ЖИ жасаған бастапқы дәлелде $\delta$-ның нақты мәні берілмейді, бірақ Принстон университетінің математика профессоры Уилл Соуиннің алдағы нақтылауы $\delta=0.014$ деп алуға болатынын көрсетті).

Мәселенің тарихы бұл нәтиженің неліктен таңғаларлық екенін түсінуге көмектеседі. Белгілі ең жақсы төменгі шек Эрдёштің 1946 жылғы бастапқы құрылымынан бері іс жүзінде өзгеріссіз келген еді. Белгілі ең жақсы жоғарғы шек $O(n^{4/3})$ 1984 жылы Спенсер, Семереди және Троттердің жұмысына жатады, ал кейінгі нақтылаулар мен Секейли, Кац пен Сильер, Пах, Раз және Шолымоши сияқты ғалымдардың байланысты құрылымдық жұмыстарына қарамастан, бұл жоғарғы шек іс жүзінде өзгеріссіз қалды. Жорамалдың пайдасына дәлел ретінде Матоушек пен Алон-Бучич-Зауэрман жазықтықтағы евклидтік емес қашықтықтармен осы есепті зерттеп, осы евклидтік емес қашықтықтардың «көпшілігі» белгілі бір мағынада жорамалға бағынатынын дәлелдеді.

Таңғаларлығы, құрылымның негізгі құрамдастары математиканың мүлде басқа бір саласы — алгебралық сандар теориясынан келеді; бұл сала алгебралық сан өрістері деп аталатын бүтін сандардың кеңейтулеріндегі жіктелу сияқты ұғымдарды зерттейді.

Жалпы деңгейде алғанда, дәлел таныс геометриялық идеядан басталып, оны күтпеген бағытқа бұрады.

Эрдёштің бастапқы төменгі шегін Гаусс бүтін сандары арқылы түсінуге болады: $a+bi$ түріндегі сандар, мұнда $a$ мен $b$ — бүтін сандар, ал $i$ — $-1$-дің квадрат түбірі. Гаусс бүтін сандары кәдімгі бүтін сандарды кеңейтеді және олар сияқты жай сандарға бірмәнді жіктелу секілді қасиеттерге ие. Кәдімгі бүтін сандардың немесе рационал сандардың мұндай кеңейтулері алгебралық сан өрістері деп аталады. Жаңа дәлел Гаусс бүтін сандарын алгебралық сандар теориясындағы күрделірек жалпылаулармен алмастырады; олардың симметриялары байырақ болып, бірлік ұзындықтағы әлдеқайда көп айырымдар жасай алады.

Нақты дәлелде шексіз класс өрісі мұнаралары мен Голод–Шафаревич теориясы сияқты құралдар қолданылып, дәлелге қажет сан өрістерінің шынымен бар екені көрсетіледі. Бұл идеялар алгебралық сандар теоретиктеріне жақсы таныс еді, бірақ бұл ұғымдардың евклидтік жазықтықтағы геометриялық сұрақтарға салдары бар екені үлкен таңданыс тудырды.

Бұл нәтиже ЖИ мен математика өзара әрекеттесуіндегі маңызды сәтті білдіреді: ЖИ жүйесі белсенді дамып жатқан саланың өзегіндегі көптен бергі ашық есепті автономды түрде шешті. Бұл сондай-ақ ЖИ мен адам математиктері арасындағы ынтымақтастықтың жаңа түрі қандай болуы мүмкін екенін ерте көрсетеді. Бұл жағдайда сыртқы математиктердің ілеспе жұмысы бастапқы шешімнің өзіне қарағанда едәуір бай көрініс береді.

Томас Блум ілеспе ескертпеде былай деп жазады:

«ЖИ жасаған дәлелдің маңызы мен ықпалын бағалағанда, мен өзіме қоятын сұрақ мынау: бұл бізге есеп туралы жаңа бір нәрсе үйретті ме? Біз қазір дискретті геометрияны жақсырақ түсінеміз бе? Меніңше, жауап — сақтықпен айтқанда, иә: бұл сан теориялық құрылымдардың мұндай сұрақтар туралы біз ойлағаннан әлдеқайда көп айта алатынын көрсетеді; бұдан бөлек, қажет болатын сандар теориясы өте терең болуы мүмкін. Алдағы айларда көптеген алгебралық сандар теоретиктері дискретті геометриядағы басқа ашық есептерге мұқият қарайтынына күмән жоқ.»

Шешім ашқан алгебралық сандар теориясы мен дискретті геометрия арасындағы күтпеген байланыс — нәтижені ерекше ететін жайттардың бірі. Ол тек нақты бір жорамалды шешіп қана қоймай, математиктерге әрі қарай жаңа байланысты есептерді зерттеуге жол ашуы мүмкін.

Блум сондай-ақ кеңірек бір мүмкіндікті нұсқайды:

«Білімнің озық шептері өте күрделі, және алдағы айлар мен жылдарда математиканың көптеген өзге салаларында да осындай табыстар болатыны сөзсіз: онда көптен бергі ашық есептерді ЖИ күтпеген байланыстарды ашып, бар техникалық аппаратты шегіне дейін итермелеу арқылы шешеді. ЖИ бізге ғасырлар бойы тұрғызған математика соборын толығырақ зерттеуге көмектесіп жатыр; сахна сыртында тағы қандай көзге көрінбеген ғажайыптар күтіп тұр екен?»

Бұл нәтиже үміт күттіретін мысал береді: ЖИ тек шешім ғана емес, маңызы адамдардың кейінгі түсінуі арқылы айқынырақ әрі байырақ бола түсетін математикалық жаңалық та ұсына алады.

Түйін бұл нақты нәтижеден де ауқымдырақ. Математикалық ой қорыту неғұрлым жақсы болса, ЖИ соғұрлым мықты зерттеу серіктесіне айнала алады: ол күрделі ой желілерін тұтас ұстап тұра алады, білімнің алыс салалары арасындағы идеяларды байланыстырады, сарапшылар басымдық бермеген үмітті бағыттарды көрсете алады және зерттеушілерге әйтпесе тым күрделі не тым көп уақыт алатын есептерде ілгерілеуге көмектеседі.

Бұл қабілеттер тек математикадан тыс салаларда да маңызды. Егер модель күрделі дәлелдің тұтастығын сақтап, білімнің алыс салалары арасындағы идеяларды байланыстыра алса және сарапшылар тексерісінен өтетін жұмыс жасай алса, бұл қабілеттер биология, физика, материалтану, инженерия және медицинада да пайдалы. Олар неғұрлым автоматтандырылған зерттеуге апаратын ұзақ мерзімді жолымыздың бір бөлігі: мұндай жүйелер ғалымдар мен инженерлерге көбірек идеяны зерттеуге және күрделірек техникалық сұрақтарды шешуге көмектесе алады.

ЖИ зерттеудің шығармашылық бөліктерінде, ең бастысы ЖИ зерттеуінің өзінде, өте маңызды рөл атқара бастауға жақын. Бұл ілгерілеу күтпеген болмаса да, ол ЖИ дамуының келесі кезеңін, өте зияткер жүйелерді үйлестіру қиындықтарын және адам-ЖИ ынтымақтастығының болашағын түсінудің қаншалықты шұғыл екенін күшейте түседі.

Дегенмен бұл болашақ әлі де адам пайымына тәуелді. Сарапшылықтың құны азаймайды, керісінше артады. ЖИ іздеуге, ұсынуға және тексеруге көмектесе алады. Маңызды есептерді адамдар таңдайды, нәтижелерді түсіндіреді және әрі қарай қандай сұрақтарды зерттейтінін шешеді.