Sawijining model OpenAI wis mbantah konjektur utama ing geometri diskret

Meh 80 taun suwéné, para matématikawan wis nyinaoni pitakon sing katon prasaja nanging ngapusi: yèn sampeyan nyelehaké $n$ titik ing bidang, pira akèh pasangan titik sing bisa pas kapisah jarak $1$?

Iki minangka masalah jarak satuan ing bidang datar, sing sepisanan diajukake déning Paul Erdős ing taun 1946. Iki salah siji pitakon paling misuwur ing geometri kombinatorial, gampang diucapaké nanging nggumunaké angelé kanggo dirampungaké. Buku taun 2005 Research Problems in Discrete Geometry, déning Brass, Moser, lan Pach, nyebut iki “mbokmenawa masalah sing paling misuwur (lan paling gampang diterangaké) ing geometri kombinatorial.” Noga Alon, ahli kombinatorika kondhang ing Princeton, nggambarake iki minangka “salah sawijining masalah favorit Erdős.” Erdős malah nawakake hadiah awujud dhuwit kanggo ngrampungake masalah iki.

Dina iki, kita nuduhaké terobosan ing masalah jarak satuan. Wiwit karya asli Erdős, kapercayan sing ngrembaka yaiku yèn konstruksi “kisi persegi” sing digambaraké luwih ngisor kuwi sejatiné wis optimal kanggo nggedhèkaké cacah pasangan jarak satuan. Sawijining model internal OpenAI wis mbantah konjektur lawas iki, kanthi maringi rangkaian conto tanpa wates sing ngasilaké perbaikan polinomial. Bukti iki wis dipriksa déning sakelompok matématikawan eksternal. Dheké uga wis nulis makalah pendamping sing nerangaké argumené lan maringi latar mburi lan konteks luwih lanjut babagan wigatiné asil iki.

Asil iki uga wigati amarga cara ditemokaké. Bukti iki asalé saka model nalar tujuan umum anyar, dudu saka sistem sing dilatih khusus kanggo matématika, diwènèhi kerangka kanggo nggoleki strategi bukti, utawa ditujokaké khusus marang masalah jarak satuan. Minangka bagéan saka upaya sing luwih amba kanggo nguji apa model canggih bisa nyumbang marang riset tercanggih, kita ngevaluasi model iki ing kumpulan masalah Erdős. Ing kasus iki, model iki ngasilaké bukti sing ngrampungaké masalah terbuka kasebut.

Bukti iki dadi tonggak penting kanggo komunitas matématika lan AI. Iki nandhani kaping pisanan masalah terbuka sing misuwur, sing dadi pusat ing salah siji subbidang matématika, bisa dirampungaké kanthi otonom déning AI. Iki uga nduduhaké jeroné nalar sing saiki didhukung sistem-sistem iki. Matématika nyedhiyakaké wahana uji sing cetha banget kanggo nalar: masalahé presisi, bukti potensial bisa dipriksa, lan argumen dawa mung bisa mlaku yèn nalare tetep nyambung saka wiwitan nganti pungkasan. Cara masalah iki dirampungaké uga patut digatèkaké. Bukti iki nggawa gagasan sing ora dikira-kira lan canggih saka téori bilangan aljabar kanggo ditrapaké marang pitakon géometri dhasar.

Pamenang Medali Fields, Tim Gowers, nalika nulis ing makalah pendamping, nyebut asil iki “tonggak penting ing matématika AI.” Miturut ahli téori bilangan utama Arul Shankar, “Miturut panemuku makalah iki nduduhaké yèn model AI saiki ngluwihi mung dadi pambantu kanggo matématikawan manungsa – model iki bisa nduwèni gagasan asli sing jenius, banjur nindakaké nganti kasil”.

Bukti iki kasedhiya ing kéné⁠(mbukak ing jendhela anyar). Makalah pendamping déning matématikawan eksternal utama kasedhiya ing kéné⁠(mbukak ing jendhela anyar). Njenengan bisa nemokaké versi ringkes saka chain of thought model iki ing kéné⁠(mbukak ing jendhela anyar).

Upamakna $u(n)$ iku cacah paling gedhé sing bisa kanggo pasangan jarak satuan ing antarané $n$ titik ing bidang. Conto sing nggayuh laju tuwuh linear gampang digawé: nyelehaké $n$ titik ing siji garis maringi $n-1$ pasangan, déné kisi persegi maringi kira-kira $2n$ pasangan. Konstruksi sing sadurungé paling apik dikenal, asalé saka kisi persegi sing diskalakan ulang, jebulé maringi luwih akèh manèh: $n^{1 + C / \log \log(n)}$ kanggo sawijining konstanta $C$. Amarga $\log \log(n)$ cenderung menyang tanpa wates bareng $n$, suku tambahan ing eksponen cenderung menyang $0$, tegesé konstruksi iki mung nggayuh tuwuh sing rada luwih cepet tinimbang linear. Sajeroning puluhan taun, wong akèh pracaya yèn laju iki sejatiné sing paling apik, lan ora ana konstruksi sing bisa ningkataké kanthi signifikan ngluwihi kisi persegi. Ing istilah teknis, Erdős ngakonjekturaké wates ndhuwur $n^{1+o(1)}$ sing tambahan $o(1)$-né nuduhaké suku sing cenderung menyang $0$ nalika $n$ mundhak.

Asil anyar kita mbantah konjektur iki. Luwih pasé, kanggo tanpa wates akèh nilai $n$, bukti iki mbangun konfigurasi $n$ titik kanthi paling ora $n^{1+\delta}$ pasangan jarak satuan, kanggo sawijining eksponen tetep $\delta > 0$. (Bukti AI asli ora maringi \\(\\delta\\) sing eksplisit, nanging panyempurnaan sing bakal teka saka profesor matématika Princeton, Will Sawin, wis nuduhaké yèn bisa dijupuk \\(\\delta=0.014\\).)

Sajarah masalah iki mbantu kita mangerteni sebabe asil kasebut nggumunake. Wates ngisor paling apik sing dikenal sejatiné ora owah wiwit konstruksi asli Erdős taun 1946. Wates ndhuwur paling apik, $O(n^{4/3})$, asalé saka karya Spencer, Szemerédi, lan Trotter ing 1984, lan senadyan ana panyempurnaan sabanjuré lan karya struktural sing gegandhengan déning Székely, Katz lan Silier, Pach, Raz, lan Solymosi lan uga déning liyané, wates ndhuwur iki sejatiné tetep ora owah. Minangka bukti sing ndhukung konjektur iki, Matoušek lan Alon-Bucić-Sauermann nyinaoni masalah iki nganggo jarak non-Euklides ing bidang, lan mbuktèkaké yèn "akèh-akèhé" jarak non-Euklides iki manut konjektur kasebut ing sawatara pangertèn.

Sing ngagetaké, bahan kunci saka konstruksi iki asalé saka pérangan matématika sing béda banget, yaiku téori bilangan aljabar, sing nyinaoni konsep kaya faktorisasi ing perluasan bilangan bulat sing dikenal minangka medan bilangan aljabar.

Ing tingkat dhuwur, bukti iki diwiwiti saka gagasan géometri sing wis akrab lan didorong menyang arah sing ora dikira-kira.

Wates ngisor asli Erdős bisa dipahami liwat bilangan bulat Gaussian: bilangan kanthi wujud $a+bi$, sing $a$ lan $b$ iku bilangan bulat lan $i$ iku akar kuadrat saka $-1$. Bilangan bulat Gaussian ngluwihi bilangan bulat biasa lan, kaya mangkono uga, nduwèni sipat kaya faktorisasi unik dadi prima. Perluasan saka bilangan bulat biasa utawa rasional kaya mangkéné dikenal minangka medan bilangan aljabar. Argumen anyar iki ngganti bilangan bulat Gaussian nganggo generalisasi sing luwih ruwet saka téori bilangan aljabar kanthi simetri sing luwih sugih, sing bisa ngasilaké luwih akèh béda dawa satuan.

Argumen sing presisi nggunakaké piranti kaya menara medan kelas tanpa wates lan téori Golod–Shafarevich kanggo nuduhaké yèn medan bilangan sing dibutuhaké kanggo argumen iki pancèn ana. Gagasan-gagasan iki wis suwe dikenal déning ahli téori bilangan aljabar, nanging dadi kejutan gedhé yèn konsep-konsep iki nduwèni implikasi kanggo pitakon géometri ing bidang Euklides.

Asil iki nandhani momen penting ing interaksi antarané AI lan matématika: sawijining sistem AI wis kanthi otonom ngrampungaké masalah terbuka lawas sing ana ing pusat salah siji bidang sing aktif. Iki uga maringi gambaran awal babagan jinis kolaborasi anyar antarané AI lan matématikawan manungsa. Ing kasus iki, karya pendamping déning matématikawan eksternal nggambaraké gambaran sing luwih sugih tinimbang solusi asli waé.

Kaya sing ditulis Thomas Bloom ing cathetan pendamping:

“Nalika netepaké pentinge lan pengaruh bukti sing digawé AI, pitakon sing takajokaké marang awakku dhéwé yaiku: apa iki wis mulangaké kita bab anyar babagan masalah iki? Apa saiki kita luwih paham geometri diskret? Miturutku wangsulané ya, nanging kanthi moderat: iki nuduhaké yèn konstruksi téori bilangan nduwèni luwih akèh sing bisa diomongaké babagan pitakon kaya iki tinimbang sing kita sangka; luwih-luwih, téori bilangan sing dibutuhaké bisa jero banget. Ora diragukaké manèh akèh ahli téori bilangan aljabar bakal nliti kanthi cedhak masalah terbuka liyané ing geometri diskret ing sasi-sasi sing bakal teka.”

Sambungan sing ora dikira-kira antarané téori bilangan aljabar lan geometri diskret sing kabukak déning solusi iki dadi salah siji sebab asil iki patut digatèkaké. Iki ora mung ngrampungaké konjektur tartamtu, nanging uga bisa maringi jembatan kanggo para matématikawan supaya miwiti njelajah masalah gegandhengan sing luwih lanjut.

Bloom uga nuding marang kemungkinan sing luwih amba:

“Wates ngarep kawruh iku runcing-runcing banget, lan mesthi sasi lan taun-taun sing bakal teka bakal nuduhaké kasil sing padha ing akèh wilayah matématika liyané, nalika masalah terbuka lawas dirampungaké déning AI sing mbukak sambungan ora dikira-kira lan nyurung piranti teknis sing wis ana nganti watesé. AI mbantu kita njelajah kanthi luwih jangkep katedral matématika sing wis kita bangun sajroning atusan taun; kaajaiban apa manèh sing durung katon sing lagi ngentèni?”

Asil iki maringi conto sing njanjèkaké: AI nyumbang ora mung solusi, nanging uga panemuan matématika sing wigatiné dadi luwih cetha lan luwih sugih liwat pangerten manungsa sawisé kuwi.

Inti pelajarané luwih gedhé tinimbang asil tartamtu iki. Nalar matématika sing luwih apik bisa ndadèkaké AI dadi mitra riset sing luwih kuwat: soko sing bisa njaga alur pikir angel tetep nyambung, nyambungaké gagasan saka wilayah kawruh sing adoh, ngangkat jalur njanjèkaké sing bisa waé ora diprioritasaké para ahli, lan mbantu panaliti maju ing masalah sing yèn ora mangkono bakal kakehan ruwet utawa mbutuhaké wektu banget kanggo ditangani.

Kapabilitas kuwi penting ngluwihi matématika. Yèn sawijining model bisa njaga argumen sing ruwet tetep koheren, nyambungaké gagasan saka wilayah kawruh sing adoh, lan ngasilaké karya sing tahan marang telaah ahli, kuwi uga kabisan sing migunani ing biologi, fisika, ilmu material, rékayasa, lan kadokteran, lan kuwi dadi bagéan saka dalan jangka panjang kita menyang riset sing luwih otomatis: sistem sing bisa mbantu ilmuwan lan insinyur njelajah luwih akèh gagasan lan ngoyak pitakon teknis sing luwih angel.

AI wis arep miwiti njupuk peran sing tenanan serius ing pérangan kreatif saka riset, lan sing paling penting uga ing riset AI dhéwé. Sanajan kemajuan iki ora ngagetaké, iki nguwataké rasa mendesak sing kita rasakaké kanggo mangertèni fase sabanjuré saka pangembangan AI, tantangan nyelarasaké sistem sing pinter banget, lan masa depan kolaborasi manungsa-AI.

Masa depan kuwi isih gumantung marang pertimbangan manungsa. Keahlian dadi luwih aji, dudu malah kurang. AI bisa mbantu nggoleki, nyaranaké, lan mriksa. Manungsa milih masalah sing penting, napsiraké asilé, lan mutusaké pitakon apa sing bakal dioyak sabanjuré.