Tíu framfaraskref í stærðfræði og fræðilegri tölvunarfræði

Við viljum færa vísindafólki og stærðfræðingum verkfæri sem flýta uppgötvunum. Þess vegna kynntum við nýlega ChatGPT fyrir fræðimenn⁠, verkefni sem veitir 100.000 vísindamönnum og stærðfræðingum ókeypis aðgang að bestu ChatGPT‑líkönunum okkar. Við höldum einnig áfram að meta líkönin okkar á óleystum rannsóknarvandamálum meðan á þróun stendur.

Í maí birtum við mótsönnun sem gervigreind útbjó⁠ á getgátu Erdős um einingarfjarlægðir, en hún uppgötvaðist við mat á óútgefnu líkani. Þessi vinna hefur þegar leitt til frekari framfara í stærðfræði og fræðilegri tölvunarfræði¹. Í dag birtum við tíu valdar niðurstöður sem ýmist leysa langvarandi óleyst vandamál eða skila verulegum framförum í þeim. Vandamálin spanna rúmfræði í mörgum víddum, kóðunarfræði, flækjustig reiknirása, grúpufræði, virkjaalgebrur, skammtaflækjufræði, grindardulritun og útgarðafléttufræði. Öll þessi vandamál vekja verulegan áhuga innan viðkomandi sviða stærðfræðinnar og nokkur þeirra hafa víðtæka þýðingu fyrir stærðfræðina í heild.

Við birtum nýjar niðurstöður um eftirfarandi vandamál. Innri útgáfa af Astra, næsta stóra líkani okkar, náði þessum niðurstöðum. Heildarfjöldi tóka sem þurfti til að finna lausnir á þessum vandamálum hefði kostað um 2.000 Bandaríkjadali samkvæmt gjaldskrá Sol API. Menn unnu síðan rökin upp í handrit með sama líkani. Að því loknu setti líkanið hver rök á formlegt form í Lean-vottorði⁠(opnast í nýjum glugga). Við birtum einnig frásögn líkans af hugsanaferlinu að baki hverri lausn.

1. Kúlnapökkun í mörgum víddum. Ný efri mörk fyrir þéttleika kúlnapökkunar, allt niður að Cohn–Elkies-þröskuldinum.
2. Tvíundarkóðar og kúlulaga kóðar: Veldisvísislega bætt mörk fyrir hámarksstærð tvíundarkóða við sérhverja tiltekna lágmarksfjarlægð, ásamt hliðstæðum niðurstöðum fyrir kúlulaga kóða í mörgum víddum.
3. Ósófískar grúpur. Smíði sem sýnir fram á tilvist ósófískra grúpa og svarar lykilspurningu sem lengi hefur verið óleyst í grúpufræði.
4. Stífleikagetgáta Connes. Mótsönnun á langvarandi getgátu um að tilteknar grúpur ákvarðist ótvírætt af von Neumann-algebrum sínum.
5. Flækjustig reiknirása. Ný neðri mörk fyrir útreikning permanentsins með reiknirásum og reikniformúlum, þar á meðal neðri mörk af stærðargráðunni n⁴/log n fyrir reikniformúlur.
6. Samhliða endurtekning í skammtafræði. Setning um veldisvísislega samhliða endurtekningu fyrir almenn tveggja leikmanna skammtaspil sem útvíkkar grundvallarreglu úr klassískri flækjufræði.
7. Vandamálið um næsta vigur. Sannaður erfiðleiki nálgunar, með margliðustuðli, fyrir vandamálið um næsta vigur, grundvallarvandamál um grindur sem tengist dulritun eftir tíma skammtatölva.
8. Rúmmálsgetgáta Ehrharts. Ákvörðun í sérhverri vídd á mesta mögulega rúmmáli kúpts hlutar þar sem massamiðjan er eini grindarpunkturinn í innra byrðinu.
9. Marglita Ramsey-tölur. Yfirveldisvísisleg neðri mörk fyrir marglita Ramsey-tölu þríhyrninga, sem leysa vandamál Erdős nr. 183.
10. Getgátur um útgarðatölur. Niðurstöður um getgátur um þjappleika og úrkynjun í útgarðafléttufræði, sem leysa vandamál Erdős nr. 146 og 180.

Tilkoma kerfa sem geta lagt sitt af mörkum til stærðfræðirannsókna vekur spurningar sem tæknifyrirtæki getur ekki svarað eitt síns liðs. Skoðanir eru skiptar um hlutverk gervigreindar í stærðfræði og við berum djúpa virðingu fyrir og skiljum þau sem hafa áhyggjur af áhrifum hennar, þar á meðal undirritendur Leiden-yfirlýsingarinnar um gervigreind og stærðfræði⁠(opnast í nýjum glugga). Við teljum að tilgreining höfunda eigi að endurspegla af hreinskilni hvernig niðurstaða varð til: Að eigna mönnum sönnun sem gervigreindarkerfi útbjó að öllu leyti myndi gefa ranga mynd bæði af framlagi kerfisins og eðli raunverulegrar hugrænnar vinnu manna. Við aðstoðuðum við gerð handritanna og færðum sannanirnar á formlegt form í Lean og berum ábyrgð á réttmæti þeirra, en stærðfræðilegu rökin sjálf komu frá kerfinu okkar. Við vonum að stærðfræðisamfélagið rýni vandlega í þessar niðurstöður, setji þær í samhengi og þrói hugmyndirnar að baki þeim áfram með nýjum rannsóknum og uppgötvunum.

Eftir því sem gervigreindarkerfi þróast í fullkomnari samstarfsaðila við rannsóknir verður víðtækt aðgengi grundvallarforsenda þess að styðja vísindafólk og stærðfræðinga við að móta framtíð sinna fræðigreina og rata um hana á þessum umbreytingartímum.