Um Navier–Stokes-þúsaldarverðlaunavandamálið

Við birtum lausn á tilvistar- og sléttleikavanda Navier–Stokes, einum af þúsaldarverðlaunavandamálunum. Þessi sönnun, sem innra kerfi OpenAI útbjó, sýnir að hreyfifræði Navier–Stokes-jafnanna fyrir vökvaflæði getur þróað með sér sérstöðu á endanlegum tíma. Við birtum bæði greinargerð um sönnunina og formlega útfærslu hennar í Lean.

Þúsaldarverðlaunavandamálin⁠(opnast í nýjum glugga) eru meðal dýpstu spurninga í háþróaðri stærðfræði. Í um 90 ár hefur verið óleyst hvort slétt þrívítt vökvaflæði geti brostið.

Eitt af meginmarkmiðum okkar er að gera vísindafólki kleift að efla rannsóknir og þróa tækni sem gagnast öllu mannkyni. Til að leysa Navier–Stokes-vandann notuðum við innra líkan sem er umtalsvert öflugra en GPT‑6 Astra. Við teljum mikilvægt að upplýsa heiminn um hraða framfara í gervigreind og hvers megi vænta af væntanlegum líkönum.

Navier–Stokes-jöfnurnar nota annað hreyfilögmál Newtons („F=ma“) til að lýsa hreyfingu vökva. Mikilvægt er að þær meðhöndla vökva sem samfellt efni í stað þess að rekja hverja sameind. Jöfnurnar eru notaðar við hönnun flugvéla, veðurspár og rannsóknir á blóðflæði.

Grundvallarspurning um þessar hreyfijöfnur hefur verið hvort samfelld nálgun á vökvanum geti brostið. Nánar tiltekið: Geta Navier–Stokes-jöfnur fyrir þrívíðan, ósamþjappanlegan vökva með stöðugan eðlismassa myndað „sérstöðupunkt“, jafnvel þótt hreyfingin sé slétt í upphafi? Hér merkir sérstöðupunktur að hreyfifræðin valdi því að hraðinn í vökvanum vaxi án takmarkana á endanlegum tíma. Sérstöðupunkturinn þyrfti að myndast þrátt fyrir seigju, sem hefur tilhneigingu til að jafna út hreyfingu. Þar sem raunverulegur vökvi getur ekki hreyfst óendanlega hratt myndi þetta sýna að líkan jöfnunnar af vökvanum hefði brostið. Til að halda áfram að líkja eftir kerfinu þyrfti þá að rekja hegðun hverrar agnar fyrir sig.

Jöfnurnar eiga rætur að rekja til verka Claude-Louis Navier og George Gabriel Stokes á nítjándu öld. Árið 1934 sannaði Jean Leray að lausnir væru til í almennum skilningi, en hvort þær héldust alltaf sléttar varð ein af helstu óleystu spurningunum. Árið 2000 útnefndi Clay-stærðfræðistofnunin tilvistar- og sléttleikavanda Navier–Stokes sem eitt af sjö þúsaldarverðlaunavandamálunum.

Kerfið okkar útbjó greinandi sönnun og formlega útfærslu í Lean sem sýnir að vökvi, sem er sléttur og kyrr í upphafi, geti þróað með sér sérstöðu á endanlegum tíma. Sléttur kraftur verkar á vökvann og orka hans helst endanleg í öllu ferlinu, frá kyrrstöðu þar til sérstaðan myndast. Þetta leysir þúsaldarverðlaunavanda Navier–Stokes með því að staðfesta fullyrðingu „C“ (og einnig „D“) í opinberri framsetningu þúsaldarverðlaunanna⁠(opnast í nýjum glugga).

Lausnin er hvirfill, snúningsiða í vökva, sem spírallast inn á við og teygist sífellt meira, líkt og spagettí. Þetta miðsvæði skreppur saman um leið og hraðinn eykst, þannig að orkan helst samt endanleg, eins og lögmál eðlisfræðinnar krefjast. Tæknilega áskorunin felst í því að jöfnurnar leiði til brestsins fyrir tilstilli hreyfingar vökvans sjálfs, en ekki til dæmis vegna þess að við setjum óendanlegan kraft inn í þær. Á stærðfræðilegra máli þurfa liðir Navier–Stokes-jafnanna sem lýsa hreyfingunni — hröðun, þrýstistiglar, skriðþungaflutningur og seigja — bæði að verða stórir og eyða hver öðrum með nákvæmum hætti. Þetta nákvæma jafnvægi leiðir til þess að ytri krafturinn helst sléttur, jafnvel þótt hraði vökvans vaxi án takmarkana.

Frá 28. ágúst höfum við þjálfað nýtt innra líkan sem hefur sýnt áður óþekkta frammistöðu í mælingum okkar, meðal annars í stærðfræði. Þjálfun líkansins stendur enn yfir og frammistaða þess heldur áfram að batna.

Þriðjudaginn 1. september heyrðum við orðróm um að tvö þúsaldarverðlaunavandamál hefðu verið leyst. Innblásin af þessum orðrómi og þeirri miklu framför sem orðið hafði í frammistöðu innra líkansins hófum við verkefni til að meta það á öllum óleystum þúsaldarverðlaunavandamálunum og nokkrum öðrum áhrifamiklum vandamálum.

Við notuðum kerfi samhæfðra fulltrúa sem knúið var af innra líkaninu okkar. Fulltrúarnir höfðu aðgang að verkfærum, svo sem afriti af internetinu í skyndiminni og möguleikanum á að keyra kóða. Fulltrúunum var skipt í hópa og gátu þeir átt samskipti innan síns hóps. Hóparnir voru misstórir og hópurinn sem leysti Navier–Stokes-vandann samanstóð af um 10.000 fulltrúum sem störfuðu samtímis. Við héldum ávallt sömu ströngu öryggisráðstöfunum og við notum við allt mat á háþróuðum líkönum okkar, þar á meðal eftirliti og einangrun.

Fyrir hvert vandamál lögðum við mismunandi útgáfur af lýsingu þess fyrir ólíka hópa fulltrúa og náðum þannig yfir öll afbrigði vandamálsins. Fyrir Navier–Stokes-vandann lögðum við útgáfur „A“ og „B“ (tiltekin form vandans sem myndu leiða til sönnunar) og útgáfur „C“ og „D“ (sem myndu leiða til afsönnunar) fyrir aðskilda hópa fulltrúa.

Auk hinna fullbúnu þúsaldarverðlaunavandamála báðum við fjölfulltrúakerfið okkar að glíma við safn „auðveldari“ vandamála. Eitt þeirra var sambærileg spurning um sprengingu í markgildi Navier–Stokes-vandans þegar seigjuliðurinn er fjarlægður. Þetta er þekkt sem regluleikavandi Euler-jafnanna og fulltrúarnir komu okkur á óvart með því að leysa hann. Tiltekna afbrigðið sem þeir leystu var útgáfan án ytri krafts, þar sem engum ytri krafti er beitt á vökvann. Tæplega 100 fulltrúar unnu saman í um 50 klukkustundir að afsönnun okkar á regluleika Euler-jafnanna¹.

Þegar við sáum Euler-lausnina töldum við Navier–Stokes vera vænlegasta vandamálið til að vinna að. Við ákváðum því að beina tilföngum okkar að Navier–Stokes. Til þess færðum við fulltrúa frá hinum þúsaldarverðlaunavandamálunum og lögðum Euler-lausnina fyrir þá. Þegar frekar þjálfuð útgáfa af innra líkaninu okkar varð tiltæk meðan á verkefninu stóð, uppfærðum við fulltrúana þannig að þeir notuðu það líkan.

Við hvöttum ólíka hópa fulltrúa til að kanna fjölbreyttar nálganir. Eftir nokkurn tíma miðluðum við hugmyndum milli hópa fulltrúa með því að nota Codex til að draga saman gagnlegustu innsýn úr hverjum hópi. Þessi eftirfylgnifyrirmæli byggðu á eigin milliniðurstöðum fulltrúanna. Hópurinn sem fann lausnina á Navier–Stokes fékk leiðsögn með þessum hætti.

Fulltrúarnir komust að lausn sinni laugardaginn 5. september, um 88 klukkustundum eftir að fyrstu fulltrúarnir voru ræstir. Formleg framsetning og sannprófun í Lean tók 17 klukkustundir til viðbótar með GPT‑6 Astra.

Í öllum vandamálunum sem reynd voru sendu fulltrúarnir 4,9 milljónir skilaboða og notuðu um 300 milljarða úttakstókna. Við lausn Navier–Stokes-vandans sendu fulltrúarnir 2,7 milljónir skilaboða og notuðu um 130 milljarða úttakstókna.

Verkefnið hófst 1. september eftir að við heyrðum orðróm sem við áttuðum okkur síðar á að tengdist Levent Alpöge, starfsmanni Anthropic, og Tristan Buckmaster, stærðfræðiprófessor við NYU.² Þegar verkefninu og sannprófuninni í Lean lauk (6. september) höfðum við samband við þá, enda töldum við út frá orðróminum að þeir hefðu einnig leyst Navier–Stokes. Við buðumst til að birta niðurstöðurnar samtímis og viðurkenna forgang þeirra í sameiginlegri tilkynningu. Þá komumst við að því að þeir höfðu notað innra líkan Anthropic til að leysa Euler-vandann með ytri krafti. Í þessum viðræðum buðum við þeim að sjá öll fyrirmælin sem við notuðum og síðar einnig sönnunina. Við viðurkennum forgang vinnu þeirra að Euler-vandanum með ytri krafti og óskum þeim til hamingju með þetta merka stærðfræðiafrek.

Við — (rannsakendurnir og fulltrúarnir) — sáum ekkert af vinnu þeirra með neinum hætti fyrr en hún var birt opinberlega. Sérstaklega var ekki farið í nein tiltekin notandagögn til að leysa vandamálið.

Að lokinni rannsókn höfum við staðfest að Codex-fyrirmæli Buckmaster síðustu tvo mánuðina fyrir þessa tilkynningu og greinina 8. september 2026 gátu ekki haft nein áhrif á kerfið, hvorki með þjálfun né öðrum hætti. Innra líkan OpenAI sem notað var við þessa niðurstöðu var þróað með umfangsmiklu styrkingarnámi ofan á áður forþjálfuðu líkani. Sannanir okkar eru einnig verulega frábrugðnar. Í Euler-tilvikinu sönnuðu Alpöge og Buckmaster niðurstöðu með ytri krafti en kerfi OpenAI sannaði niðurstöðu án ytri krafts.

Markmið okkar með birtingu þessarar niðurstöðu er að greina frá þeim miklu framförum sem orðið hafa í gervigreindarlíkönum okkar. Við ætlum ekki að gera tilkall til þúsaldarverðlaunanna vegna þessarar niðurstöðu.

Þessi áfangi byggir á umfangsmikilli vinnu stærðfræðinga og gervigreindarrannsakenda. Þetta er þó ekki hápunktur heldur augnabliksmynd af framförum í þróun gervigreindar.

Við teljum að nú sé hafið næsta skeið framfara í gervigreind⁠ og niðurstöður dagsins renna frekari stoðum undir það. Við einbeitum okkur að því að skilja þetta líkan og nýta lærdóminn til að stýra og ákveða hraða frekari framfara í getu. Eitt af meginmarkmiðum okkar⁠ er að byggja gervigreindarkerfi sem hægt er að stýra, sem bera ábyrgð og tengjast fólki. Það kann að kalla á yfirvegaðri ákvarðanir um hraða framfara meðan við vinnum áfram að því markmiði okkar að tryggja að AGG gagnist öllu mannkyni.