Sepuluh kemajuan dalam matematika dan ilmu komputer teoretis

Kami ingin membekali ilmuwan dan matematikawan dengan alat yang mempercepat penemuan. Karena itulah kami baru-baru ini mengumumkan ChatGPT untuk Peneliti Akademis⁠, sebuah inisiatif yang memberi 100.000 ilmuwan dan matematikawan akses gratis ke model ChatGPT terbaik kami. Kami juga terus mengevaluasi model kami pada berbagai masalah penelitian terbuka selama pengembangan.

Pada bulan Mei, kami membagikan bukti sanggahan yang dihasilkan AI⁠ terhadap konjektur jarak satuan Erdős, yang ditemukan saat mengevaluasi model yang belum dirilis. Karya ini telah menginspirasi perkembangan lebih lanjut dalam matematika dan ilmu komputer teoretis¹. Hari ini, kami membagikan sepuluh hasil pilihan yang masing-masing menuntaskan atau menghasilkan kemajuan besar pada masalah terbuka yang telah lama ada. Masalah-masalah ini mencakup geometri berdimensi tinggi, teori pengodean, kompleksitas sirkuit aritmetika, teori grup, aljabar operator, kompleksitas kuantum, kriptografi kekisi, dan kombinatorika ekstremal. Semua masalah ini sangat penting bagi komunitas matematika di bidangnya masing-masing, dan beberapa di antaranya juga menarik secara luas bagi dunia matematika secara keseluruhan.

Kami menyajikan hasil baru untuk masalah-masalah berikut. Hasil ini dicapai oleh Astra versi internal, model utama kami berikutnya. Total token yang diperlukan untuk menemukan solusi atas masalah-masalah ini akan menelan biaya sekitar US$2.000 berdasarkan tarif API Sol. Argumen-argumen ini kemudian diolah oleh manusia menjadi manuskrip dengan menggunakan model yang sama. Setelah itu, model tersebut memformalkan setiap argumen menjadi sertifikat Lean⁠(terbuka di jendela baru). Untuk setiap solusi, kami juga merilis narasi model mengenai proses berpikirnya.

1. Pengepakan bola berdimensi tinggi. Batas atas baru untuk kepadatan pengepakan bola hingga ambang Cohn–Elkies.
2. Kode biner dan sferis: Batas ukuran maksimum kode biner pada setiap jarak minimum yang ditetapkan berhasil ditingkatkan secara eksponensial, dengan hasil serupa untuk kode sferis berdimensi tinggi.
3. Grup nonsofik. Sebuah konstruksi yang membuktikan keberadaan grup nonsofik dan menjawab pertanyaan terbuka utama dalam teori grup.
4. Konjektur kekakuan Connes. Bukti sanggahan terhadap konjektur lama bahwa grup tertentu ditentukan secara unik oleh aljabar von Neumann-nya.
5. Kompleksitas sirkuit aritmetika. Batas bawah baru untuk menghitung permanen menggunakan sirkuit dan rumus aritmetika, termasuk batas bawah rumus aritmetika berorde n⁴/log n.
6. Repetisi paralel kuantum. Teorema repetisi paralel eksponensial untuk permainan kuantum dua pemain secara umum, yang memperluas prinsip dasar dari teori kompleksitas klasik.
7. Masalah vektor terdekat. Kesukaran aproksimasi berfaktor polinomial untuk masalah vektor terdekat, sebuah masalah mendasar pada kekisi yang berkaitan dengan kriptografi pascakuantum.
8. Konjektur volume Ehrhart. Menentukan, pada setiap dimensi, volume maksimum benda cembung yang sentroidnya merupakan satu-satunya titik kekisi di bagian dalamnya.
9. Bilangan Ramsey multiwarna. Batas bawah supereksponensial untuk bilangan Ramsey segitiga multiwarna, yang menuntaskan masalah Erdős 183.
10. Konjektur bilangan ekstremal. Hasil mengenai konjektur kekompakan dan degenerasi dalam teori graf ekstremal, yang menuntaskan masalah Erdős 146 dan 180.

Kemunculan sistem yang mampu berkontribusi pada penelitian matematika memunculkan pertanyaan yang tidak dapat dijawab oleh perusahaan teknologi saja. Ada beragam pandangan mengenai peran AI dalam matematika, dan kami sangat menghormati serta memahami mereka yang mengkhawatirkan dampaknya, termasuk para penandatangan Deklarasi Leiden tentang AI dan Matematika⁠(terbuka di jendela baru). Kami percaya atribusi harus secara jujur mencerminkan cara suatu hasil diperoleh: mengklaim kepengarangan manusia atas bukti yang sepenuhnya dihasilkan sistem AI akan memberikan gambaran keliru tentang kontribusi sistem tersebut maupun hakikat karya intelektual manusia yang sesungguhnya. Kami membantu menyiapkan manuskrip dan memformalkan bukti dalam Lean serta bertanggung jawab atas kebenarannya, sedangkan argumen matematikanya sendiri dihasilkan oleh sistem kami. Kami berharap komunitas matematika akan mengkaji hasil-hasil ini secara mendalam, menempatkannya dalam konteks, serta mengembangkan gagasan di baliknya melalui penelitian dan penemuan baru.

Seiring berkembangnya sistem AI menjadi mitra penelitian yang semakin canggih, memastikan akses yang luas merupakan hal mendasar untuk mendukung ilmuwan dan matematikawan dalam menavigasi serta menentukan masa depan bidang mereka pada era transformatif ini.