Tentang Masalah Hadiah Milenium Navier–Stokes

Kami membagikan solusi untuk masalah eksistensi dan kehalusan Navier–Stokes, salah satu Masalah Hadiah Milenium. Pembuktian yang dihasilkan oleh sistem internal OpenAI ini menunjukkan bahwa dinamika persamaan Navier–Stokes untuk gerak fluida dapat mengalami singularitas dalam waktu berhingga. Kami membagikan uraian pembuktian sekaligus formalisasinya dalam Lean.

Masalah Hadiah Milenium⁠(terbuka di jendela baru) mencakup beberapa pertanyaan paling mendalam di bidang matematika terdepan. Pertanyaan apakah gerak fluida tiga dimensi yang halus dapat mengalami kerusakan belum terjawab selama sekitar 90 tahun.

Salah satu tujuan utama pekerjaan kami adalah memberdayakan para ilmuwan untuk memajukan riset dan teknologi yang bermanfaat bagi seluruh umat manusia. Untuk memecahkan masalah Navier–Stokes, kami menggunakan model internal yang kemampuannya jauh melampaui GPT‑6 Astra. Kami meyakini pentingnya memberi tahu dunia tentang laju kemajuan AI dan hal yang dapat diharapkan dari model-model mendatang.

Persamaan Navier–Stokes menggunakan hukum gerak kedua Newton (“F=ma”) untuk menjelaskan cara fluida bergerak. Yang penting, persamaan ini memperlakukan fluida sebagai medium kontinu, alih-alih melacak setiap molekul. Persamaan ini digunakan untuk merancang pesawat, memprakirakan cuaca, dan mempelajari aliran darah.

Pertanyaan mendasar yang belum terjawab mengenai persamaan dinamis ini adalah apakah pendekatan kontinu terhadap fluida dapat mengalami kerusakan. Secara khusus, dapatkah persamaan Navier–Stokes untuk fluida tak termampatkan tiga dimensi dengan massa jenis konstan mengalami “singularitas”, meskipun geraknya bermula dengan mulus? Di sini, singularitas berarti dinamika menyebabkan kecepatan fluida meningkat tanpa batas dalam waktu yang berhingga. Singularitas harus terbentuk meskipun terdapat viskositas, yang cenderung menghaluskan gerakan. Karena fluida nyata tidak dapat bergerak dengan kecepatan tak terhingga, hal ini menandai kerusakan pada cara persamaan tersebut memodelkan fluida. Untuk terus memodelkan sistem tersebut, perilaku setiap partikel kemudian perlu dilacak satu per satu.

Persamaan ini berasal dari karya Claude-Louis Navier dan George Gabriel Stokes pada abad ke-19. Pada 1934, Jean Leray membuktikan bahwa solusi ada dalam pengertian umum, tetapi apakah solusi itu selalu tetap halus menjadi pertanyaan utama yang belum terjawab. Pada 2000, Clay Mathematics Institute menetapkan masalah eksistensi dan kehalusan Navier–Stokes sebagai salah satu dari tujuh Masalah Hadiah Milenium.

Sistem kami menghasilkan pembuktian analitis dan formalisasi Lean bahwa fluida yang awalnya diam dan halus dapat mengalami singularitas dalam waktu berhingga. Gaya halus diterapkan pada fluida tersebut, dan energinya tetap berhingga sepanjang seluruh dinamika, sejak diam hingga terbentuknya singularitas. Temuan ini memecahkan Masalah Hadiah Milenium Navier–Stokes dengan membuktikan pernyataan “C” (serta “D”) dalam rumusan resmi Hadiah Milenium⁠(terbuka di jendela baru).

Solusinya berupa vorteks, yaitu pusaran fluida yang berputar, bergerak spiral ke dalam, dan makin memanjang seperti spageti. Wilayah pusat ini menyusut seraya bergerak makin cepat sedemikian rupa sehingga energinya tetap berhingga, sesuai dengan hukum fisika. Tantangan teknisnya adalah membuat kerusakan dalam persamaan timbul dari gerak fluida itu sendiri, bukan, misalnya, dengan memasukkan gaya tak terhingga secara manual. Secara lebih matematis, suku-suku dalam persamaan Navier–Stokes yang menjelaskan gerak—percepatan, gradien tekanan, perpindahan momentum, dan viskositas—harus menjadi besar, tetapi juga saling meniadakan secara tepat. Keseimbangan terperinci ini mempertahankan gaya eksternal yang halus meskipun kecepatan fluida meningkat tanpa batas.

Sejak 28 Agustus, kami telah melatih model internal baru yang menunjukkan performa tanpa preseden dalam tolok ukur kami, termasuk matematika. Pelatihan model ini masih berlangsung dan performanya terus meningkat.

Pada Selasa, 1 September, kami mendengar desas-desus bahwa dua Masalah Hadiah Milenium telah terpecahkan. Terinspirasi oleh desas-desus tersebut dan lonjakan performa model internal kami, kami memulai upaya untuk mengevaluasinya pada semua Masalah Hadiah Milenium yang belum terpecahkan serta beberapa masalah penting lainnya.

Kami menggunakan sistem yang terdiri dari agen-agen terkoordinasi dan didukung oleh model internal kami. Para agen memiliki akses ke berbagai alat, seperti kemampuan membaca versi internet yang tersimpan dalam cache dan menjalankan kode. Para agen dibagi ke dalam kelompok-kelompok yang dapat berkomunikasi secara internal. Ukuran kelompok bervariasi, dan kelompok yang menghasilkan penyelesaian Navier–Stokes melibatkan sekitar 10.000 agen yang bekerja serentak. Sepanjang waktu, kami mempertahankan perlindungan ketat yang sama seperti dalam semua evaluasi model terdepan kami, termasuk pemantauan dan isolasi.

Untuk setiap masalah, kami memberikan berbagai varian rumusan masalah kepada kelompok agen yang berbeda, mencakup seluruh varian masalah tersebut. Untuk masalah Navier–Stokes, kami memberikan versi “A” dan “B” (bentuk tertentu dari masalah Navier–Stokes yang akan menghasilkan pembuktian) serta versi “C” dan “D” (yang akan menghasilkan sanggahan) kepada kelompok agen yang berbeda.

Selain Masalah Hadiah Milenium yang lengkap, kami meminta sistem multiagen kami mencoba serangkaian masalah yang “lebih mudah”. Salah satunya adalah pertanyaan serupa tentang ledakan pada limit masalah Navier–Stokes setelah suku viskositas dihilangkan. Pertanyaan ini dikenal sebagai masalah regularitas persamaan Euler, dan para agen kami mengejutkan kami dengan memecahkannya. Varian khusus yang mereka pecahkan adalah versi tanpa gaya eksternal, yakni tidak ada gaya eksternal yang diterapkan pada fluida. Hampir 100 agen bekerja sama selama sekitar 50 jam untuk menghasilkan sanggahan regularitas Euler kami¹.

Setelah melihat solusi Euler, kami menilai Navier–Stokes sebagai masalah yang paling menjanjikan untuk dikerjakan. Karena itu, kami memutuskan untuk mencurahkan sumber daya kami pada Navier–Stokes. Untuk melakukannya, kami mengalihkan agen dari Masalah Milenium lainnya dan memberikan penyelesaian Euler kepada mereka. Ketika versi model internal kami yang telah dilatih lebih lanjut tersedia selama upaya ini berlangsung, kami memperbarui model para agen ke versi tersebut.

Kami mendorong berbagai kelompok agen untuk menjajaki beragam pendekatan. Setelah beberapa waktu, kami memadukan gagasan antarkelompok agen dengan menggunakan Codex untuk merangkum wawasan paling berguna dari masing-masing kelompok. Perintah lanjutan ini memanfaatkan hasil antara yang dibuat sendiri oleh para agen. Kelompok yang menemukan solusi Navier–Stokes diarahkan dengan cara tersebut.

Para agen menemukan penyelesaian mereka pada Sabtu, 5 September, sekitar 88 jam setelah agen pertama dijalankan. Formalisasi dan verifikasi Lean memerlukan tambahan waktu 17 jam menggunakan GPT‑6 Astra.

Dalam seluruh masalah yang dicoba, para agen mengirim 4,9 juta pesan dan menggunakan sekitar 300 miliar token keluaran. Dalam proses memecahkan masalah Navier–Stokes, para agen mengirim 2,7 juta pesan dan menggunakan sekitar 130 miliar token keluaran.

Upaya kami dimulai pada 1 September setelah mendengar desas-desus yang belakangan kami sadari berkaitan dengan Levent Alpöge, karyawan Anthropic, dan Tristan Buckmaster, profesor matematika di NYU.² Setelah proyek lengkap dan verifikasi Lean kami selesai (pada 6 September), kami menghubungi mereka karena berdasarkan desas-desus tersebut kami mengira mereka juga memiliki solusi Navier–Stokes. Kami menawarkan penerbitan hasil secara bersamaan serta pengakuan atas prioritas mereka dalam pengumuman bersama. Saat itulah kami mengetahui bahwa mereka telah menghasilkan penyelesaian masalah Euler dengan gaya eksternal menggunakan model internal Anthropic. Dalam diskusi tersebut, kami menawarkan akses kepada mereka untuk melihat semua perintah yang kami gunakan, lalu pembuktiannya. Kami mengakui prioritas karya mereka mengenai Euler dengan gaya eksternal dan mengucapkan selamat atas pencapaian matematis mereka yang luar biasa.

Kami (para peneliti dan agen) tidak melihat karya mereka melalui cara apa pun sebelum karya itu dirilis ke publik—khususnya, tidak ada data pengguna tertentu yang diakses untuk memecahkan masalah ini.

Setelah melakukan penyelidikan, kami memastikan bahwa perintah Codex milik Buckmaster selama dua bulan sebelum pengumuman dan makalah ini pada 8 September 2026 tidak mungkin memengaruhi sistem dengan cara apa pun, termasuk melalui pelatihan. Model internal OpenAI yang digunakan untuk hasil ini dikembangkan melalui reinforcement learning berskala besar di atas model yang sebelumnya telah dilatih. Pembuktian kami juga sangat berbeda. Dalam kasus Euler, Alpöge dan Buckmaster membuktikan hasil dengan gaya eksternal, sedangkan sistem OpenAI membuktikan hasil tanpa gaya eksternal.

Tujuan kami merilis hasil ini adalah melaporkan kemajuan besar model AI kami. Kami tidak bermaksud mengajukan klaim atas Hadiah Milenium untuk hasil ini.

Tonggak pencapaian ini merupakan hasil kerja besar para matematikawan dan peneliti AI. Namun, ini bukanlah puncak, melainkan gambaran sesaat dari kemajuan pengembangan AI.

Kami yakin kini kita telah memasuki periode kemajuan AI berikutnya⁠, dan hasil hari ini memberikan bukti lebih lanjut mengenai hal tersebut. Kami berfokus memahami model ini dan menggunakan pembelajaran yang diperoleh untuk membantu kami mengarahkan serta mengatur laju upaya meraih kemajuan kemampuan berikutnya. Salah satu tujuan utama⁠ kami adalah membangun sistem AI yang dapat diarahkan, bertanggung jawab, dan terhubung dengan manusia. Hal ini mungkin memerlukan keputusan yang lebih cermat mengenai laju kemajuan selagi kami melanjutkan misi untuk memastikan AGI bermanfaat bagi seluruh umat manusia.