Deset napredaka u matematici i teorijskom računarstvu

Želimo znanstvenicima i matematičarima pružiti alate koji ubrzavaju otkrića. Zato smo nedavno najavili inicijativu ChatGPT za akademske istraživače⁠, koja 100.000 znanstvenika i matematičara omogućuje besplatan pristup našim najboljim modelima ChatGPT‑a. Tijekom razvoja također nastavljamo ocjenjivati svoje modele na otvorenim istraživačkim problemima.

U svibnju smo objavili dokaz koji je generirala umjetna inteligencija da je hipoteza netočna⁠, a odnosi se na Erdősevu hipotezu o jediničnoj udaljenosti te je otkriven tijekom ocjenjivanja neobjavljenog modela. Taj je rad već potaknuo daljnji razvoj matematike i teorijskog računarstva¹. Danas predstavljamo deset rezultata, od kojih svaki rješava dugogodišnji otvoreni problem ili donosi znatan napredak prema njegovu rješavanju. Ti problemi obuhvaćaju visokodimenzionalnu geometriju, teoriju kodiranja, složenost aritmetičkih sklopova, teoriju grupa, algebre operatora, kvantnu složenost, rešetkastu kriptografiju i ekstremalnu kombinatoriku. Svi su ti problemi vrlo važni svojim matematičkim zajednicama, a nekoliko ih je od velikog interesa i za matematiku u cjelini.

Donosimo nove rezultate za sljedeće probleme. Rezultati su postignuti internom verzijom Astre, našeg sljedećeg velikog modela. Ukupan broj tokena potrebnih za pronalaženje rješenja tih problema stajao bi približno 2.000 USD prema cijenama API-ja Sol. Ljudi su zatim s pomoću istog modela te argumente oblikovali u rukopise. Model je potom svaki argument formalizirao u obliku certifikata u Leanu⁠(otvara se u novom prozoru). Za svako rješenje objavljujemo i opis tijeka rasuđivanja modela.

1. Pakiranje sfera u prostorima visoke dimenzije. Nove gornje granice gustoće pakiranja sfera sve do Cohn–Elkiesova praga.
2. Binarni i sferni kodovi: Eksponencijalno poboljšane granice najveće veličine binarnih kodova za bilo koju zadanu minimalnu udaljenost, uz analogne rezultate za visokodimenzionalne sferne kodove.
3. Nesofičke grupe. Konstrukcija kojom je utvrđeno postojanje nesofičkih grupa, čime se odgovara na jedno od ključnih otvorenih pitanja u teoriji grupa.
4. Connesova hipoteza o rigidnosti. Dokaz da je netočna dugogodišnja hipoteza prema kojoj su određene grupe jednoznačno određene svojim von Neumannovim algebrama.
5. Složenost aritmetičkih sklopova. Nove donje granice za izračunavanje permanente aritmetičkim sklopovima i formulama, uključujući donju granicu aritmetičke formule reda n⁴/log n.
6. Kvantno paralelno ponavljanje. Teorem o eksponencijalnom paralelnom ponavljanju za opće kvantne igre s dva igrača, kojim se temeljno načelo klasične teorije složenosti proširuje na kvantni slučaj.
7. Problem najbližeg vektora. Teškoća aproksimacije problema najbližeg vektora do polinomnog faktora, temeljnog pitanja o rešetkama povezanog s postkvantnom kriptografijom.
8. Ehrhartova hipoteza o volumenu. Određivanje najvećeg mogućeg volumena, u svakoj dimenziji, konveksnog tijela čije je težište njegova jedina unutarnja točka rešetke.
9. Višebojni Ramseyjevi brojevi. Supereksponencijalna donja granica višebojnih Ramseyjevih brojeva za trokute, čime je riješen Erdősev problem 183.
10. Hipoteze o ekstremalnim brojevima. Rezultati o hipotezama kompaktnosti i degeneriranosti u ekstremalnoj teoriji grafova, kojima su riješeni Erdősevi problemi 146 i 180.

Pojava sustava koji mogu pridonositi matematičkim istraživanjima otvara pitanja na koja tehnološka tvrtka ne može sama odgovoriti. Postoje brojna stajališta o ulozi umjetne inteligencije u matematici, a duboko poštujemo i razumijemo one koji su zabrinuti zbog njezina utjecaja, uključujući potpisnike Leidenske deklaracije o umjetnoj inteligenciji i matematici⁠(otvara se u novom prozoru). Smatramo da navođenje autorstva treba iskreno odražavati način na koji je rezultat nastao: pripisivanje ljudskog autorstva dokazu koji je u cijelosti generirao sustav umjetne inteligencije pogrešno bi prikazalo i doprinos sustava i prirodu istinskoga ljudskog intelektualnog rada. Pomogli smo pripremiti rukopise i formalizirati dokaze u Leanu te preuzimamo odgovornost za njihovu točnost, dok je same matematičke argumente generirao naš sustav. Nadamo se da će matematička zajednica temeljito razmotriti te rezultate, smjestiti ih u kontekst te ideje na kojima počivaju oživjeti novim istraživanjima i otkrićima.

Kako se sustavi umjetne inteligencije razvijaju u sve naprednije istraživačke suradnike, široka dostupnost ključna je za potporu znanstvenicima i matematičarima dok u ovom preobrazbenom razdoblju usmjeravaju i oblikuju budućnost svojih disciplina.