O Milenijskom problemu Navier–Stokesovih jednadžbi

Objavljujemo rješenje problema postojanja i glatkoće Navier–Stokesovih jednadžbi, jednog od Milenijskih problema. Ovaj dokaz, koji je izradio interni sustav OpenAI-ja, pokazuje da dinamika Navier–Stokesovih jednadžbi za gibanje fluida može razviti singularnost u konačnom vremenu. Objavljujemo opis dokaza i njegovu formalizaciju u Leanu.

Milenijski problemi⁠(otvara se u novom prozoru) obuhvaćaju neka od najdubljih pitanja na granici dosega matematike. Pitanje može li doći do sloma glatkog trodimenzionalnog gibanja fluida neriješeno je već oko 90 godina.

Jedan je od glavnih ciljeva našeg rada omogućiti znanstvenicima da unaprijede istraživanja i tehnologiju na dobrobit cijelog čovječanstva. Za rješavanje Navier–Stokesova problema upotrijebili smo interni model koji je znatno sposobniji od modela GPT‑6 Astra. Smatramo da je važno obavijestiti javnost o brzini napretka umjetne inteligencije i onome što se može očekivati od budućih modela.

Navier–Stokesove jednadžbe primjenjuju drugi Newtonov zakon gibanja („F=ma”) kako bi opisale gibanje fluida. Važno je da fluid opisuju kao kontinuirani medij umjesto praćenja pojedinačnih molekula. Te se jednadžbe primjenjuju u projektiranju zrakoplova, prognoziranju vremena i proučavanju protoka krvi.

Temeljno otvoreno pitanje za te dinamičke jednadžbe bilo je može li aproksimacija fluida kao kontinuuma zakazati. Konkretno, mogu li Navier–Stokesove jednadžbe za trodimenzionalni nestlačivi fluid stalne gustoće razviti „singularnost” čak i ako je gibanje u početku glatko? Singularnost ovdje znači da zbog dinamike brzine u fluidu neograničeno rastu unutar konačnog vremena. Singularnost bi se morala razviti unatoč viskoznosti, koja nastoji izgladiti gibanje. Budući da se stvarni fluid ne može gibati beskonačno brzo, to bi značilo da jednadžbe više ne opisuju fluid valjano. Za nastavak modeliranja sustava tada bi trebalo zasebno pratiti ponašanje svake čestice.

Jednadžbe potječu iz radova Claudea-Louisa Naviera i Georgea Gabriela Stokesa iz 19. stoljeća. Jean Leray dokazao je 1934. da rješenja postoje u poopćenom smislu, no pitanje ostaju li uvijek glatka postalo je jedno od ključnih otvorenih pitanja. Institut za matematiku Clay uvrstio je 2000. problem postojanja i glatkoće Navier–Stokesovih jednadžbi među sedam Milenijskih problema.

Naš je sustav izradio analitički dokaz i formalizaciju u Leanu da fluid koji je u početku gladak i miruje može razviti singularnost u konačnom vremenu. Na fluid djeluje glatka sila, a njegova energija ostaje konačna tijekom cijele dinamike, od mirovanja do nastanka singularnosti. Time se rješava Milenijski problem Navier–Stokesovih jednadžbi dokazivanjem tvrdnje „C” (kao i „D”) iz službene formulacije Milenijskog problema⁠(otvara se u novom prozoru).

Rješenje je vrtlog, rotirajuće strujanje fluida, koji spiralno teče prema unutra i sve se više izdužuje poput špageta. To se središnje područje smanjuje dok ubrzava tako da njegova energija i dalje ostaje konačna, kao što zahtijevaju zakoni fizike. Tehnički je izazov postići da jednadžbe dovedu do sloma samim gibanjem fluida, a ne, primjerice, tako da ručno uvedemo beskonačnu silu. Matematički rečeno, članovi Navier–Stokesovih jednadžbi koji opisuju gibanje — ubrzanje, gradijenti tlaka, prijenos količine gibanja i viskoznost — moraju postati veliki, ali se pritom precizno poništavati. Zbog te precizne ravnoteže vanjska sila ostaje glatka čak i dok brzina fluida neograničeno raste.

Od 28. kolovoza treniramo novi interni model koji je na našim referentnim testovima, uključujući matematičke, pokazao dosad nezabilježene rezultate. Treniranje tog modela i dalje traje, a njegove se performanse nastavljaju poboljšavati.

U utorak 1. rujna čuli smo glasine da su riješena dva Milenijska problema. Potaknuti tim glasinama i naglim poboljšanjem performansi našeg internog modela, pokrenuli smo procjenu modela na svim otvorenim Milenijskim problemima i nekoliko drugih važnih problema.

Upotrijebili smo sustav koordiniranih agenata koje je pokretao naš interni model. Agenti su imali pristup alatima poput čitanja predmemorirane verzije interneta i pokretanja koda. Agenti su bili podijeljeni u skupine unutar kojih su mogli komunicirati. Skupine su bile različitih veličina, a u skupini koja je riješila Navier–Stokesov problem djelovalo je oko 10.000 agenata istodobno. Cijelo smo vrijeme održavali iste stroge zaštitne mjere koje primjenjujemo pri svim procjenama graničnih modela, uključujući nadzor i izolaciju.

Za svaki smo problem različitim skupinama agenata zadali različite inačice formulacije kako bismo obuhvatili sve njegove varijante. Za Navier–Stokesov problem zasebnim smo skupinama agenata predložili inačice „A” i „B” (posebne oblike problema koji bi doveli do dokaza) te „C” i „D” (koji bi doveli do opovrgavanja).

Osim cjelovitih Milenijskih problema, od našeg smo višeagentskog sustava zatražili da pokuša riješiti skup „lakših” problema. Jedan od njih bilo je slično pitanje nastanka singularnosti za granični slučaj Navier–Stokesova problema bez člana viskoznosti. To je poznato kao problem regularnosti Eulerovih jednadžbi, a naši su nas agenti iznenadili riješivši ga. Riješili su neprisilnu inačicu problema, u kojoj na fluid ne djeluje vanjska sila. Gotovo 100 agenata surađivalo je približno 50 sati kako bi izradili naše opovrgavanje regularnosti Eulerovih jednadžbi¹.

Nakon što smo vidjeli rješenje Eulerova problema, zaključili smo da je Navier–Stokesov problem najizgledniji kandidat za daljnji rad. Stoga smo svoje resurse odlučili usmjeriti na Navier–Stokesov problem. U tu smo svrhu agente preusmjerili s drugih Milenijskih problema i zadali im rješenje Eulerova problema. Kada je tijekom rada postala dostupna dodatno trenirana inačica našeg internog modela, agente smo prebacili na taj model.

Poticali smo različite skupine agenata da istraže raznolike pristupe. Nakon nekog vremena povezali smo ideje među skupinama agenata tako što smo s pomoću Codexa objedinili najkorisnije uvide svake skupine. Ti naknadni upiti temeljili su se na vlastitim međurezultatima agenata. Na taj je način usmjeravana skupina koja je pronašla rješenje Navier–Stokesova problema.

Agenti su do rješenja došli u subotu 5. rujna, oko 88 sati nakon pokretanja prvih agenata. Formalizacija i provjera u Leanu s pomoću modela GPT‑6 Astra trajale su još 17 sati.

Tijekom rada na svim problemima agenti su poslali 4,9 milijuna poruka i iskoristili oko 300 milijardi izlaznih tokena. Rješavajući Navier–Stokesov problem, agenti su poslali 2,7 milijuna poruka i iskoristili približno 130 milijardi izlaznih tokena.

Naš je rad započeo 1. rujna nakon što smo čuli glasinu za koju smo poslije shvatili da je povezana s Leventom Alpögeom, zaposlenikom Anthropica, i Tristanom Buckmasterom, profesorom matematike na NYU-u.² Nakon dovršetka cijelog projekta i provjere u Leanu 6. rujna, vjerujući na temelju glasine da i oni imaju rješenje Navier–Stokesova problema, obratili smo im se i ponudili istodobnu objavu rezultata te priznanje njihova prvenstva u zajedničkoj objavi. Tada smo doznali da su s pomoću internog modela Anthropica riješili problem prisilnih Eulerovih jednadžbi. U tim smo im razgovorima ponudili uvid u sve upite koje smo upotrebljavali, a poslije i u sam dokaz. Priznajemo prvenstvo njihova rada na prisilnim Eulerovim jednadžbama i čestitamo im na iznimnom matematičkom postignuću.

Mi — istraživači i agenti — ni na koji način nismo vidjeli njihov rad prije nego što su ga javno objavili; konkretno, radi rješavanja ovog problema nije se pristupalo podacima pojedinačnih korisnika.

Istragom smo potvrdili da Buckmasterovi upiti Codexu tijekom dva mjeseca prije ove objave i rada od 8. rujna 2026. nisu mogli ni na koji način utjecati na sustav, pa ni putem treniranja. Interni model OpenAI-ja upotrijebljen za ovaj rezultat razvijen je opsežnim učenjem s potkrepljivanjem povrh prethodno predtreniranog modela. Naši se dokazi također znatno razlikuju. U slučaju Eulerovih jednadžbi Alpöge i Buckmaster dokazali su rezultat s vanjskom silom, dok je sustav OpenAI-ja dokazao rezultat bez vanjske sile.

Objavom ovog rezultata želimo izvijestiti o znatnom napretku naših modela umjetne inteligencije. Za ovaj rezultat ne namjeravamo zatražiti Milenijsku nagradu.

Ova je prekretnica rezultat opsežnog rada matematičara i istraživača umjetne inteligencije. No to nije vrhunac razvoja, nego tek trenutačna slika napretka umjetne inteligencije.

Vjerujemo da smo ušli u novo razdoblje napretka umjetne inteligencije⁠, a današnji rezultati pružaju dodatne dokaze za to. Usredotočeni smo na razumijevanje tog modela i primjenu stečenih spoznaja kako bismo usmjeravali i određivali tempo daljnjeg razvoja sposobnosti. Jedan je od naših ključnih ciljeva⁠ izgraditi sustave umjetne inteligencije kojima se može upravljati, koji su odgovorni i povezani s ljudima. To može zahtijevati promišljenije odluke o tempu napretka dok nastavljamo svoju misiju da AGI bude na dobrobit cijelog čovječanstva.