Tá samhail OpenAI tar éis tuairim lárnach sa chéimseata scoite a bhréagnú

Le beagnach 80 bliain, tá matamaiticeoirí ag déanamh staidéir ar cheist atá simplí go mealltach: má chuireann tú $n$ phointe sa phlána, cé mhéad péire pointí is féidir a bheith go díreach achar $1$ óna chéile?

Fadhb achar aonaid an phlána í seo, a chuir Paul Erdős i láthair den chéad uair in 1946. Tá sí ar cheann de na ceisteanna is cáiliúla sa chéimseata teaglamach, éasca le rá agus thar a bheith deacair a réiteach. Deir an leabhar 2005 Research Problems in Discrete Geometry, le Brass, Moser, agus Pach, gurb í “b’fhéidir an fhadhb is cáiliúla (agus is simplí le míniú) sa chéimseata teaglamach.” Déanann Noga Alon, speisialtóir mór le rá ar theaglamaíocht in Ollscoil Princeton, cur síos air mar “cheann de na fadhbanna ab ansa le Erdős.” Thairg Erdős fiú duais airgid don té a réiteodh an fhadhb seo.

Inniu, roinnimid ceannródaíocht ar fhadhb achar aonaid. Ó shaothar bunaidh Erdős, ba é an tuairim choitianta go raibh na tógálacha “greille cearnach” a léirítear níos faide síos beagnach optamach chun líon na bpéirí achar aonaid a uasmhéadú. Tá samhail inmheánach OpenAI tar éis an tuairim sheanbhunaithe seo a bhréagnú, ag soláthar teaghlach gan teorainn samplaí a thugann feabhas iltéarmach. Tá an cruthúnas seiceáilte ag grúpa matamaiticeoirí seachtracha. Tá páipéar tionlacain scríofa acu freisin a mhíníonn an argóint agus a sholáthraíonn tuilleadh cúlra agus comhthéacs maidir le tábhacht an toraidh.

Tá an toradh suntasach freisin mar gheall ar an gcaoi ar aimsíodh é. Tháinig an cruthúnas ó shamhail nua réasúnaíochta ilchuspóireach, seachas ó chóras a cuireadh oiliúint air go sonrach don mhatamaitic, a cuireadh i bhfráma chun straitéisí cruthúnais a chuardach, nó a díríodh ar fhadhb achar aonaid go háirithe. Mar chuid d’iarracht níos leithne chun a thástáil an féidir le samhlacha ardleibhéil cur le taighde teorainn, rinneamar measúnú air ar bhailiúchán fadhbanna Erdős. Sa chás seo, tháirg sé cruthúnas a réitigh an fhadhb oscailte.

Is cloch mhíle thábhachtach é an cruthúnas seo do phobail na matamaitice agus na hIntleachta Saorga. Is é seo an chéad uair ar réitigh IS go huathrialach fadhb oscailte shuntasach atá lárnach d’fho-réimse matamaitice. Léiríonn sé freisin doimhneacht na réasúnaíochta a thacaíonn na córais seo léi anois. Soláthraíonn an mhatamaitic timpeallacht thástála thar a bheith soiléir don réasúnaíocht: tá na fadhbanna beacht, is féidir cruthúnais fhéideartha a sheiceáil, agus ní oibríonn argóint fhada ach amháin má fhanann an réasúnaíocht slán ó thús deireadh. Tá an modh ar réitíodh an fhadhb leis suntasach freisin. Tugann an cruthúnas smaointe gan choinne sofaisticiúla ó theoiric uimhreach ailgéabrach chun bearna ar cheist gheoiméadrach bhunúsach.

Tugann buaiteoir Bonn Fields Tim Gowers, agus é ag scríobh sa pháipéar tionlacain, “cloch mhíle i matamaitic IS” ar an toradh. Dar leis an teoiriceoir uimhreach mór le rá Arul Shankar, “I mo thuairim léiríonn an páipéar seo go dtéann samhlacha IS reatha níos faide ná a bheith ina gcúntóirí do mhatamaiticeoirí daonna amháin – tá siad in ann smaointe bunaidh glice a bheith acu, agus ansin iad a chur i gcrích go rathúil”.

Tá an cruthúnas ar fáil anseo⁠(osclaíonn i bhfuinneog nua). Tá an páipéar tionlacain ó mhór-mhatamaiticeoirí seachtracha ar fáil anseo⁠(osclaíonn i bhfuinneog nua). Is féidir leat leagan giorraithe de shraith smaointe na samhla a fháil anseo⁠(osclaíonn i bhfuinneog nua).

Bíodh $u(n)$ ar an líon is mó is féidir de phéirí achar aonaid i measc $n$ phointe sa phlána. Is furasta samplaí a thógáil a bhaineann ráta fáis líneach amach: má chuirtear $n$ phointe i líne faightear $n-1$ péire, agus tugann greille cearnach thart ar $2n$ péire. Is léir go dtugann an tógáil is fearr ar eolas roimhe seo, a thagann ó ghreille cearnach athscálaithe, níos mó fós: $n^{1 + C / \log \log(n)}$ do thairiseach $C$. Ós rud é go dtéann $\log \log(n)$ go héigríoch le $n$, téann an téarma breise san easpónant go $0$, rud a chiallaíonn nach mbaineann na tógálacha seo amach ach fás beagán níos tapúla ná fás líneach. Ar feadh na mblianta fada, creideadh go forleathan gurbh é an ráta seo beagnach an ceann ab fhearr ab fhéidir, agus nach bhféadfadh aon tógáil feabhas suntasach a chur ar an ngreille cearnach. I dtéarmaí teicniúla, rinne Erdős tuairim de theorainn uachtarach $n^{1+o(1)}$ ina léiríonn an $o(1)$ breise téarma a théann go $0$ le $n$.

Bréagnaíonn ár dtoradh nua an tuairim seo. Níos cruinne, do líon gan teorainn luachanna $n$, tógann an cruthúnas cumraíochtaí de $n$ phointe le ar a laghad $n^{1+\delta}$ péire achar aonaid, do easpónant seasta $\delta > 0$. (Ní thugann an cruthúnas bunaidh AI $\delta$ sainráite, ach léirigh mionchoigeartú atá le teacht ó Will Sawin, ollamh matamaitice in Princeton, gur féidir $\delta=0.014$ a ghlacadh.)

Cuidíonn stair na faidhbe le tuiscint cén fáth a bhfuil an toradh ina ábhar iontais. Bhí an teorainn íochtarach ab fhearr a bhí ar eolas beagnach gan athrú ó thógáil bhunaidh Erdős i 1946. Tagann an teorainn uachtarach ab fhearr, $O(n^{4/3})$, ó shaothar Spencer, Szemerédi, agus Trotter in 1984, agus, in ainneoin mionchoigeartuithe níos déanaí agus obair struchtúrach ghaolmhar le Székely, Katz agus Silier, Pach, Raz, agus Solymosi agus daoine eile, d’fhan an teorainn uachtarach beagnach gan athrú. Mar fhianaise i bhfabhar na tuairime, rinne Matoušek agus Alon-Bucić-Sauermann staidéar ar an bhfadhb le hachair neamh-Eoiclídeacha sa phlána, agus chruthaigh siad go gcloíonn “an chuid is mó” de na hachair neamh-Eoiclídeacha seo leis an tuairim ar bhealach éigin.

Is iontach an rud é go dtagann príomh-chomhábhair na tógála ó chuid an-difriúil den mhatamaitic ar a dtugtar teoiric uimhreach ailgéabrach, a dhéanann staidéar ar choincheapa cosúil le fachtóiriú i sínte de na slánuimhreacha ar a dtugtar réimsí uimhreach ailgéabracha.

Ar leibhéal ard, tosaíonn an cruthúnas le smaoineamh geoiméadrach aithnidiúil agus brúann sé é i dtreo gan choinne.

Is féidir teorainn íochtarach bhunaidh Erdős a thuiscint trí na slánuimhreacha Gaussacha: uimhreacha den fhoirm $a+bi$, áit ar slánuimhreacha iad $a$ agus $b$ agus gurb é $i$ fréamh chearnach $-1$. Leathnaíonn na slánuimhreacha Gaussacha na gnáthshlánuimhreacha agus, cosúil leo, tá airíonna acu amhail fachtóiriú uathúil ina bpríomhuimhreacha. Tugtar réimsí uimhreach ailgéabracha ar shínte den sórt sin de na gnáthshlánuimhreacha nó de na huimhreacha réasúnacha. Cuireann an argóint nua ginearálaithe níos casta ó theoiric uimhreach ailgéabrach in ionad na slánuimhreacha Gaussacha, le siméadrachtaí níos saibhre ar féidir leo i bhfad níos mó difríochtaí fad aonaid a chruthú.

Úsáideann an argóint bheacht uirlisí amhail túir réimse aicme gan teorainn agus teoiric Golod–Shafarevich chun a thaispeáint go bhfuil na réimsí uimhreach atá riachtanach don argóint ann i ndáiríre. Bhí aithne mhaith ag teoiriceoirí uimhreach ailgéabracha ar na smaointe seo, ach ba mhór an t-iontas é go bhfuil impleachtaí ag na coincheapa seo do cheisteanna geoiméadracha sa phlána Eoiclídeach.

Is tráth tábhachtach é an toradh seo san idirghníomhú idir IS agus an mhatamaitic: tá córas IS tar éis fadhb oscailte sheanbhunaithe a réiteach go huathrialach i gcroílár réimse gníomhaigh. Tugann sé léargas luath freisin ar chineál nua comhoibrithe idir IS agus matamaiticeoirí daonna. Sa chás seo, tugann an saothar tionlacain ó mhatamaiticeoirí seachtracha pictiúr i bhfad níos saibhre ná an réiteach bunaidh amháin.

Mar a scríobhann Thomas Bloom sa nóta tionlacain:

“Nuair a bhíonn tábhacht agus tionchar cruthúnais a ghin IS á meas agam, ceist a chuireann mé orm féin ná: ar mhúin sé seo rud éigin nua dúinn faoin bhfadhb? An dtuigimid céimseata scoite níos fearr anois? Sílim gurb é an freagra tá measartha: léiríonn sé seo go bhfuil i bhfad níos mó le rá ag tógálacha teoirice uimhreach faoi cheisteanna den chineál seo ná mar a cheapamar; thairis sin, gur féidir leis an teoiric uimhreach atá riachtanach a bheith an-domhain. Gan dabht beidh go leor teoiriceoirí uimhreach ailgéabracha ag féachaint go géar ar fhadhbanna oscailte eile sa chéimseata scoite sna míonna amach romhainn.”

Tá an nasc gan choinne idir teoiric uimhreach ailgéabrach agus céimseata scoite a nocht an réiteach mar chuid den rud a fhágann go bhfuil an toradh suntasach. Ní réitíonn sé tuairim shonrach amháin go simplí, ach d’fhéadfadh sé droichead a thabhairt do mhatamaiticeoirí chun tús a chur le tuilleadh fadhbanna gaolmhara a iniúchadh.

Díríonn Bloom freisin ar fhéidearthacht níos leithne:

“Tá teorainneacha an eolais an-spíceach, agus gan dabht feicfear sna míonna agus sna blianta amach romhainn rathanna cosúla i go leor réimsí eile den mhatamaitic, áit a réiteofar fadhbanna oscailte seanbhunaithe le IS ag nochtadh nascanna gan choinne agus ag brú an innealra theicniúil atá ann cheana go dtí a theorainn. Tá IS ag cabhrú linn ardeaglais na matamaitice atá tógtha againn thar na céadta bliain a iniúchadh níos iomláine; cad iad na hiontais eile nach bhfacthas fós atá ag fanacht sa chúlra?”

Soláthraíonn an toradh seo sampla geallta: IS ag cur ní hamháin réitigh ar fáil, ach fionnachtain mhatamaiticiúil freisin a éiríonn a tábhacht níos soiléire agus níos saibhre trí thuiscint dhaonna ina diaidh.

Tá an príomhcheacht níos mó ná an toradh áirithe seo. Is féidir le réasúnaíocht mhatamaiticiúil níos fearr IS a dhéanamh ina comhpháirtí taighde níos láidre: rud atá in ann línte smaointeoireachta deacra a choinneáil le chéile, smaointe a nascadh thar réimsí eolais i bhfad óna chéile, cosáin gheallta a thabhairt chun solais nár thug saineolaithe tosaíocht dóibh, agus cabhrú le taighdeoirí dul chun cinn a dhéanamh ar fhadhbanna a bheadh róchasta nó róthógálach ama murach sin.

Tá tábhacht ag baint leis na cumais sin lasmuigh den mhatamaitic. Más féidir le samhail argóint chasta a choinneáil comhleanúnach, smaointe a nascadh thar réimsí eolais i bhfad óna chéile, agus saothar a tháirgeadh a sheasann do ghrinnscrúdú saineolaithe, is cumais úsáideacha iad sin freisin sa bhitheolaíocht, san fhisic, san eolaíocht ábhar, san innealtóireacht, agus sa leigheas, agus is cuid dár gcosán fadtéarmach iad i dtreo taighde níos uathoibrithe: córais a chabhróidh le heolaithe agus le hinnealtóirí níos mó smaointe a iniúchadh agus ceisteanna teicniúla níos deacra a shaothrú.

Tá IS ar tí ról an-tromchúiseach a ghlacadh sna codanna cruthaitheacha den taighde, agus go háirithe i dtaighde IS féin. Cé nach bhfuil an dul chun cinn seo gan choinne, neartaíonn sé an phráinn a mhothaímid maidir leis an gcéad chéim eile seo d’fhorbairt IS a thuiscint, na dúshláin a bhaineann le córais an-chliste a ailíniú, agus todhchaí an chomhoibrithe idir daoine agus IS.

Braitheann an todhchaí sin fós ar bhreithiúnas an duine. Éiríonn saineolas níos luachmhaire, ní níos lú luachmhaire. Is féidir le IS cabhrú le cuardach, moladh, agus fíorú. Is iad daoine a roghnaíonn na fadhbanna atá tábhachtach, a léirmhíníonn na torthaí, agus a chinneann cé na ceisteanna ba chóir a shaothrú ina dhiaidh sin.