Navier–Stokesin Millennium-palkinto-ongelmasta

Julkaisemme ratkaisun Navier–Stokesin yhtälöiden olemassaolo- ja sileysongelmaan, joka on yksi Millennium-palkinto-ongelmista. OpenAI:n sisäisen järjestelmän tuottama todistus osoittaa, että nesteen liikettä kuvaavien Navier–Stokesin yhtälöiden dynamiikkaan voi kehittyä singulariteetti äärellisessä ajassa. Julkaisemme sekä todistuksen kirjallisen esityksen että sen formalisoinnin Leanilla.

Millennium-palkinto-ongelmat⁠(avautuu uudessa ikkunassa) kuuluvat edistyneen matematiikan syvällisimpiin kysymyksiin. Kysymys siitä, voiko sileä kolmiulotteinen nestevirtaus hajota, on pysynyt ratkaisematta noin 90 vuotta.

Työmme keskeisenä tavoitteena on antaa tutkijoille paremmat mahdollisuudet edistää koko ihmiskuntaa hyödyttävää tutkimusta ja teknologiaa. Ratkaisimme Navier–Stokesin ongelman sisäisellä mallilla, joka on huomattavasti GPT‑6 Astraa kyvykkäämpi. Mielestämme on tärkeää kertoa maailmalle tekoälyn kehitysvauhdista ja siitä, mitä tulevilta malleilta voi odottaa.

Navier–Stokesin yhtälöt kuvaavat nesteiden liikettä Newtonin toisen liikelain (”F=ma”) avulla. Olennaista on, että niissä nestettä käsitellään jatkuvana väliaineena yksittäisten molekyylien seuraamisen sijaan. Näitä yhtälöitä käytetään lentokoneiden suunnittelussa, sääennusteissa ja verenvirtauksen tutkimuksessa.

Näihin dynaamisiin yhtälöihin liittyvä keskeinen avoin kysymys on ollut, voiko nesteen jatkumoapproksimaatio hajota. Voiko kolmiulotteista, kokoonpuristumatonta ja vakiotiheyksistä nestettä kuvaaviin Navier–Stokesin yhtälöihin kehittyä ”singulariteetti”, vaikka liike olisi aluksi sileää? Singulariteetti tarkoittaa tässä sitä, että dynamiikka kasvattaa nesteen nopeuksia rajatta äärellisen ajan kuluessa. Singulariteetin pitäisi kehittyä viskositeetista huolimatta, vaikka viskositeetti pyrkii tasoittamaan liikettä. Koska todellinen neste ei voi liikkua äärettömän nopeasti, tämä merkitsisi nesteen matemaattisen mallin hajoamista. Järjestelmän mallintamisen jatkaminen edellyttäisi silloin jokaisen hiukkasen käyttäytymisen seuraamista erikseen.

Yhtälöt pohjautuvat Claude-Louis Navier’n ja George Gabriel Stokesin 1800-luvulla tekemään työhön. Jean Leray todisti vuonna 1934, että ratkaisuja on olemassa yleistetyssä mielessä, mutta keskeiseksi avoimeksi kysymykseksi jäi, säilyvätkö ne aina sileinä. Clay Mathematics Institute nimesi vuonna 2000 Navier–Stokesin yhtälöiden olemassaolo- ja sileysongelman yhdeksi seitsemästä Millennium-palkinto-ongelmasta.

Järjestelmämme tuotti analyyttisen todistuksen ja Lean-formalisoinnin siitä, että aluksi levossa oleva sileä neste voi kehittää singulariteetin äärellisessä ajassa. Nesteeseen kohdistetaan sileä voima, ja sen energia pysyy äärellisenä koko dynamiikan ajan levosta singulariteetin muodostumiseen asti. Tulos ratkaisee Navier–Stokesin Millennium-palkinto-ongelman osoittamalla virallisen Millennium-palkintomuotoilun⁠(avautuu uudessa ikkunassa) väitteen ”C” (ja myös väitteen ”D”).

Ratkaisu on pyörre eli pyörivä nestevirtaus, joka kiertyy sisäänpäin ja venyy yhä pidemmäksi spagetin tavoin. Tämä keskialue kutistuu ja nopeutuu siten, että sen energia pysyy silti fysiikan lakien edellyttämällä tavalla äärellisenä. Teknisenä haasteena on saada hajoaminen syntymään yhtälöissä nesteen omasta liikkeestä eikä esimerkiksi lisäämällä järjestelmään käsin ääretöntä voimaa. Matemaattisemmin ilmaistuna liikettä kuvaavien Navier–Stokesin yhtälöiden termien – kiihtyvyyden, painegradienttien, liikemäärän siirron ja viskositeetin – on sekä kasvettava suuriksi että kumottava toisensa täsmällisellä tavalla. Tämän tarkan tasapainon ansiosta ulkoinen voima pysyy sileänä, vaikka nesteen nopeus kasvaa rajatta.

Olemme kouluttaneet 28. elokuuta lähtien uutta sisäistä mallia, joka on yltänyt ennennäkemättömiin tuloksiin vertailutesteissämme, myös matematiikassa. Mallin koulutus jatkuu, ja sen suorituskyky paranee edelleen.

Tiistaina 1. syyskuuta kuulimme huhuja, että kaksi Millennium-palkinto-ongelmaa olisi ratkaistu. Huhujen ja sisäisen mallimme suorituskyvyn harppauksen innoittamina käynnistimme hankkeen, jossa arvioimme mallia kaikilla avoimilla Millennium-palkinto-ongelmilla sekä muutamalla muulla merkittävällä ongelmalla.

Käytimme sisäisellä mallillamme toimivaa, keskenään koordinoivien agenttien järjestelmää. Agenteilla oli käytettävissään työkaluja, kuten internetin välimuistiversion lukeminen ja koodin suorittaminen. Agentit jaettiin ryhmiin, joiden jäsenet pystyivät viestimään keskenään. Ryhmien koko vaihteli. Navier–Stokesin ratkaisun tuottaneessa ryhmässä työskenteli samanaikaisesti noin 10 000 agenttia. Noudatimme koko ajan samoja tiukkoja suojaustoimia kuin kaikissa edistyneiden malliemme arvioinneissa, mukaan lukien valvonta ja eristäminen.

Annoimme kunkin ongelman eri muunnelmia eri agenttiryhmille niin, että kaikki ongelman muunnelmat tulivat käsitellyiksi. Navier–Stokesin ongelmassa annoimme eri agenttiryhmille versiot ”A” ja ”B” (ongelman muodot, jotka johtaisivat todistukseen) sekä versiot ”C” ja ”D” (jotka johtaisivat väitteen kumoamiseen).

Täysien Millennium-palkinto-ongelmien lisäksi pyysimme moniagenttijärjestelmäämme kokeilemaan joukkoa ”helpompia” ongelmia. Yksi niistä koski vastaavaa äärellisen ajan singulariteettia Navier–Stokesin ongelman raja-arvossa, josta viskositeettitermi on poistettu. Tämä tunnetaan Eulerin yhtälöiden säännöllisyysongelmana, ja agenttimme yllättivät meidät ratkaisemalla sen. He ratkaisivat nimenomaan ongelman pakottamattoman version, jossa nesteeseen ei kohdisteta ulkoista voimaa. Lähes 100 agenttia työskenteli yhdessä noin 50 tuntia tuottaakseen Eulerin yhtälöiden säännöllisyyttä koskevan vastatodistuksemme¹.

Nähtyämme Euler-ratkaisun pidimme Navier–Stokesia lupaavimpana työstettävänä ongelmana. Päätimme siksi kohdentaa resurssimme Navier–Stokesin ongelmaan. Siirsimme agentteja pois muiden Millennium-palkinto-ongelmien parista ja annoimme heille Euler-ratkaisun lähtötiedoksi. Kun sisäisestä mallistamme tuli hankkeen aikana saataville pidemmälle koulutettu versio, päivitimme agenttimme käyttämään sitä.

Kannustimme eri agenttiryhmiä tutkimaan monenlaisia lähestymistapoja. Jonkin ajan kuluttua yhdistelimme agenttiryhmien työtä kokoamalla Codexilla kunkin ryhmän hyödyllisimmät havainnot. Näissä jatkokehotteissa hyödynnettiin agenttien omia välituloksia. Navier–Stokesin ratkaisun löytänyttä ryhmää ohjattiin tällä tavoin.

Agentit päätyivät ratkaisuunsa lauantaina 5. syyskuuta, noin 88 tuntia ensimmäisten agenttien käynnistämisen jälkeen. Lean-formalisointi ja GPT‑6 Astralla tehty varmennus veivät vielä 17 tuntia.

Kaikissa kokeilluissa ongelmissa agentit lähettivät yhteensä 4,9 miljoonaa viestiä ja käyttivät noin 300 miljardia tulostetokenia. Navier–Stokesin ongelmaa ratkaistessaan agentit lähettivät 2,7 miljoonaa viestiä ja käyttivät noin 130 miljardia tulostetokenia.

Työmme alkoi 1. syyskuuta kuultuamme huhun, jonka ymmärsimme myöhemmin liittyvän Anthropicin työntekijään Levent Alpögeen ja NYU:n matematiikan professoriin Tristan Buckmasteriin.² Kun koko hankkeemme ja Lean-varmennus olivat valmistuneet 6. syyskuuta, otimme heihin yhteyttä. Huhun perusteella uskoimme, että hekin olivat ratkaisseet Navier–Stokesin ongelman, joten ehdotimme tulostemme samanaikaista julkaisua ja heidän etusijansa tunnustamista yhteisessä tiedotteessa. Silloin saimme tietää, että he olivat ratkaisseet pakotetun Eulerin ongelman Anthropicin sisäisellä mallilla. Keskusteluissa tarjosimme heille mahdollisuuden nähdä kaikki käyttämämme kehotteet ja myöhemmin myös todistuksen. Tunnustamme heidän työnsä etusijan pakotetun Eulerin ongelmassa ja onnittelemme heitä merkittävästä matemaattisesta saavutuksesta.

Me – tutkijat ja agentit – emme nähneet heidän työtään millään tavoin ennen sen julkaisua. Ongelman ratkaisemista varten ei etenkään käytetty mitään tiettyjä käyttäjätietoja.

Tutkinnan perusteella olemme vahvistaneet, etteivät Buckmasterin Codex-kehotteet tämän 8. syyskuuta 2026 julkaistun tiedotteen ja artikkelin julkaisua edeltäneiltä kahdelta kuukaudelta voineet vaikuttaa järjestelmään millään tavoin, eivät myöskään koulutuksen kautta. Tässä tuloksessa käytetty OpenAI:n sisäinen malli kehitettiin laajamittaisella vahvistusoppimisella aiemmin esikoulutetun mallin pohjalta. Myös todistuksemme poikkeavat toisistaan merkittävästi. Eulerin tapauksessa Alpöge ja Buckmaster todistivat tuloksen ulkoisella pakotuksella, kun taas OpenAI:n järjestelmä todisti tuloksen ilman ulkoista pakotusta.

Julkaisemme tämän tuloksen kertoaksemme tekoälymalliemme huomattavasta kehityksestä. Emme aio hakea tällä tuloksella Millennium-palkintoa.

Tämä virstanpylväs on vaatinut matemaatikoilta ja tekoälytutkijoilta huomattavan työpanoksen. Kyse ei kuitenkaan ole päätepisteestä vaan tilannekuvasta tekoälyn kehityksessä.

Uskomme tekoälyn kehityksen siirtyneen nyt seuraavaan vaiheeseen⁠, ja tämänpäiväiset tulokset tukevat näkemystä entisestään. Keskitymme ymmärtämään tätä mallia ja hyödynnämme oppimaamme uusien kyvykkyysaskelten suuntaamisessa ja tahdittamisessa. Yksi keskeisistä tavoitteistamme⁠ on rakentaa ohjattavia ja vastuullisia tekoälyjärjestelmiä, joilla on yhteys ihmisiin. Tämä voi edellyttää harkitumpia valintoja kehityksen tahdista jatkaessamme tehtäväämme varmistaa, että AGI hyödyttää koko ihmiskuntaa.