Kümme edusammu matemaatikas ja teoreetilises informaatikas
Soovime anda teadlastele ja matemaatikutele tööriistad, mis kiirendavad avastuste tegemist. Seetõttu kuulutasime hiljuti välja algatuse ChatGPT akadeemilistele teadlastele, mis annab 100 000 teadlasele ja matemaatikule tasuta juurdepääsu meie parimatele ChatGPT mudelitele. Samuti hindame arenduse käigus jätkuvalt oma mudeleid lahtiste teadusprobleemide põhjal.
Mais tutvustasime Erdősi ühikkauguse hüpoteesi tehisaru loodud ümberlükkamist, mis avastati veel avaldamata mudeli hindamise käigus. See töö on juba ajendanud uusi arenguid matemaatikas ja teoreetilises informaatikas1. Täna tutvustame kümmet tulemust, millest igaüks lahendab mõne ammuse lahtise probleemi või aitab selle lahendamisele märkimisväärselt kaasa. Need probleemid hõlmavad kõrgdimensionaalset geomeetriat, kodeerimisteooriat, aritmeetiliste skeemide keerukust, rühmateooriat, operaatoralgebraid, kvantkeerukust, võrekrüptograafiat ja ekstremaalset kombinatoorikat. Kõik need probleemid pakuvad suurt huvi asjaomastele matemaatikakogukondadele ning mitu neist on olulised kogu matemaatika seisukohalt.
Esitame uusi tulemusi järgmiste probleemide kohta. Tulemused saavutas meie järgmise suure mudeli Astra sisemine versioon. Nende probleemide lahenduste leidmiseks vajalike tokenite koguarv maksaks Sol API hindade järgi ligikaudu 2000 dollarit. Seejärel vormistasid inimesed need argumendid sama mudeli abil käsikirjadeks. Pärast seda formaliseeris mudel iga argumendi Leani sertifikaadina(avaneb uues aknas). Avaldame iga lahenduse kohta ka mudeli kirjelduse oma mõttekäigust.
- Sfääride pakkimine kõrgdimensionaalses ruumis. Uued sfääride pakkimistiheduse ülemised tõkked kuni Cohn–Elkiesi läveni.
- Binaar- ja sfäärilised koodid: eksponentsiaalselt paremad tõkked binaarkoodide maksimaalsele suurusele mis tahes etteantud minimaalse kauguse korral ning analoogsed tulemused kõrgdimensionaalsete sfääriliste koodide kohta.
- Mittesofiilsed rühmad. Konstruktsioon, mis tõestab mittesofiilsete rühmade olemasolu ja käsitleb rühmateooria üht keskset lahtist küsimust.
- Connesi jäikushüpotees. Ammuse hüpoteesi ümberlükkamine, mille järgi määravad von Neumanni algebrad teatud rühmad üheselt.
- Aritmeetiliste skeemide keerukus. Uued alumised tõkked permanendi arvutamisele aritmeetiliste skeemide ja valemitega, sealhulgas aritmeetiliste valemite alumine tõke suurusjärgus n4/log n.
- Kvantne paralleelkordus. Eksponentsiaalne paralleelkorduse teoreem üldiste kahe mängijaga kvantmängude jaoks, mis laiendab klassikalise keerukusteooria aluspõhimõtet.
- Lähima vektori probleem. Lähima vektori probleemi polünomiaalse teguriga lähendamise raskus – see on kvantjärgse krüptograafiaga seotud fundamentaalne võreteooria küsimus.
- Ehrharti ruumalahüpotees. Igas dimensioonis sellise kumera keha suurima võimaliku ruumala määramine, mille raskuskese on selle ainus sisemine võrepunkt.
- Mitmevärvilised Ramsey arvud. Mitmevärviliste kolmnurksete Ramsey arvude supereksponentsiaalne alumine tõke, mis lahendab Erdősi probleemi 183.
- Ekstremaalarvu hüpoteesid. Tulemused ekstremaalse graafiteooria kompaktsus- ja degeneratsioonihüpoteeside kohta, mis lahendavad Erdősi probleemid 146 ja 180.
Matemaatikauuringutesse panustada suutvate süsteemide esilekerkimine tõstatab küsimusi, millele tehnoloogiaettevõte üksi vastata ei saa. Tehisaru rolli kohta matemaatikas on palju seisukohti ning me austame ja mõistame sügavalt neid, kes tunnevad muret selle mõju pärast, sealhulgas tehisaru ja matemaatikat käsitleva Leideni deklaratsiooni(avaneb uues aknas) allkirjastajaid. Meie arvates peaks autorsuse omistamine ausalt kajastama tulemuse saamise viisi: täielikult tehisarusüsteemi loodud tõestuse esitamine inimese autoritööna moonutaks nii süsteemi panust kui ka tõelise inimliku intellektuaalse töö olemust. Aitasime käsikirju koostada ja tõestusi Leanis formaliseerida ning vastutame nende õigsuse eest, kuid matemaatilised argumendid genereeris meie süsteem. Loodame, et matemaatikakogukond analüüsib neid tulemusi põhjalikult, asetab need konteksti ning äratab nende aluseks olevad ideed uute uuringute ja avastuste kaudu ellu.
Kuna tehisarusüsteemidest saavad üha võimekamad teaduspartnerid, on laialdase juurdepääsu tagamine hädavajalik, et toetada teadlasi ja matemaatikuid sel murrangulisel ajastul oma erialade tuleviku mõtestamisel ja kujundamisel.
Allmärkus
- 1
Hilisemate uurimuste hulka kuuluvad Bloom, Sawin, Schildkraut ja Zhelezov, „Summa-korrutise hüpotees ei kehti reaalarvude puhul(avaneb uues aknas)“; Pohoata, „Lõhestuvad algarvud ja Elekes–Rónyai probleem(avaneb uues aknas)“; Saha, Xu ja Ye, „SETH-i eeldusel nõuab kaugeima paari leidmine ülekonstantses dimensioonis ruutkeerukusega aega(avaneb uues aknas)“; Goh ja Hatami, „Punktide ja sirgete intsidentside kommunikatsioonikeerukus reaalarvude kohal(avaneb uues aknas)“; ning Lee, Pohoata ja Zhu, „Minkowski võres esineb robustselt palju korduvaid kaugusi(avaneb uues aknas)“.
