Navier–Stokesi aastatuhande auhinnaprobleemist

Avaldame lahenduse Navier–Stokesi olemasolu ja sileduse probleemile, mis on üks aastatuhande auhinnaprobleeme. OpenAI sisemise süsteemi koostatud tõestus näitab, et vedeliku liikumist kirjeldavate Navier–Stokesi võrrandite dünaamikas võib lõpliku aja jooksul tekkida singulaarsus. Avaldame nii tõestuse kirjelduse kui ka selle formalisatsiooni Leanis.

Aastatuhande auhinnaprobleemid⁠(avaneb uues aknas) kuuluvad matemaatika sügavaimate tipptasemel küsimuste hulka. Küsimus, kas sujuv kolmemõõtmeline vedelikuvool võib muutuda ebaregulaarseks, on püsinud lahenduseta ligikaudu 90 aastat.

Meie töö üks põhieesmärke on anda teadlastele võimalus edendada kogu inimkonnale kasulikke teadusuuringuid ja tehnoloogiat. Navier–Stokesi probleemi lahendamiseks kasutasime sisemist mudelit, mis on GPT‑6 Astrast märkimisväärselt võimekam. Peame oluliseks teavitada maailma tehisintellekti arengu tempost ja sellest, mida tulevastelt mudelitelt oodata.

Navier–Stokesi võrrandid kirjeldavad vedelike liikumist Newtoni teise seaduse („F=ma“) abil. Oluline on see, et vedelikku käsitletakse pideva keskkonnana, mitte ei jälgita üksikuid molekule. Neid võrrandeid kasutatakse lennukite projekteerimisel, ilmaennustuses ja verevoolu uurimisel.

Nende dünaamiliste võrrandite puhul on peamine lahtine küsimus olnud, kas vedeliku pideva keskkonna lähendus võib lakata kehtimast. Kas konstantse tihedusega kolmemõõtmelise kokkusurumatu vedeliku Navier–Stokesi võrrandites võib tekkida „singulaarsus“ isegi siis, kui liikumine algab sujuvalt? Singulaarsus tähendab siin, et dünaamika tõttu kasvavad vedeliku kiirused lõpliku aja jooksul piiramatult. Singulaarsus peaks tekkima hoolimata viskoossusest, millel on kalduvus liikumist siluda. Kuna tegelik vedelik ei saa liikuda lõpmata kiiresti, tähendaks see, et võrrandid ei kirjelda vedelikku enam õigesti. Süsteemi modelleerimise jätkamiseks tuleks seejärel jälgida iga osakese käitumist eraldi.

Võrrandid pärinevad Claude-Louis Navier’ ja George Gabriel Stokesi 19. sajandil tehtud tööst. Jean Leray tõestas 1934. aastal, et lahendid on üldistatud tähenduses olemas, kuid keskseks vastamata küsimuseks jäi, kas need püsivad alati siledad. Clay Matemaatikainstituut nimetas 2000. aastal Navier–Stokesi olemasolu ja sileduse probleemi üheks seitsmest aastatuhande auhinnaprobleemist.

Meie süsteem koostas analüütilise tõestuse ja Leani formalisatsiooni selle kohta, et algul paigal olevas siledas vedelikus võib lõpliku aja jooksul tekkida singulaarsus. Vedelikule rakendatakse siledat jõudu ning selle energia püsib kogu dünaamika vältel lõplikuna alates paigalseisust kuni singulaarsuse tekkeni. See lahendab Navier–Stokesi aastatuhande auhinnaprobleemi, tõestades väite „C“ (ja ka „D“) ametlikus aastatuhande auhinna sõnastuses⁠(avaneb uues aknas).

Lahendiks on keeris ehk pöörlev vedelikuvool, mis spiraalselt sissepoole liigub ja üha pikemaks venib nagu spagetid. See keskosa tõmbub kokku ja kiireneb nii, et selle energia jääb füüsikaseaduste kohaselt siiski lõplikuks. Tehniline raskus seisneb selles, et võrrandite ebaregulaarsus peab tekkima vedeliku enda liikumisest, mitte näiteks meie käsitsi lisatud lõpmatust jõust. Matemaatilisemalt öeldes peavad Navier–Stokesi võrrandites liikumist kirjeldavad liikmed — kiirendus, rõhugradiendid, impulsi ülekanne ja viskoossus — muutuma suureks, kuid samal ajal täpselt üksteist tühistama. Tänu sellele täpsele tasakaalule jääb väline jõud siledaks isegi siis, kui vedeliku kiirus kasvab piiramatult.

Oleme alates 28. augustist treeninud uut sisemist mudelit, mis on meie võrdlustestides, sealhulgas matemaatikas, näidanud enneolematuid tulemusi. Selle mudeli treenimine jätkub ja selle jõudlus paraneb pidevalt.

Teisipäeval, 1. septembril kuulsime kuulujutte, et kaks aastatuhande auhinnaprobleemi on lahendatud. Neist kuulujuttudest ja meie sisemise mudeli jõudluse hüppelisest paranemisest innustatuna hakkasime seda hindama kõigi lahendamata aastatuhande auhinnaprobleemide ning mõne muu suure mõjuga probleemi põhjal.

Kasutasime meie sisemisel mudelil põhinevat koordineerivate agentide süsteemi. Agentidel oli ligipääs tööriistadele, millega sai muu hulgas lugeda interneti vahemällu salvestatud versiooni ja käitada koodi. Agendid jaotati rühmadesse, mille liikmed said omavahel suhelda. Rühmad olid eri suurusega ning Navier–Stokesi lahenduse koostanud rühmas töötas korraga suurusjärgus 10 000 agenti. Järgisime kogu aeg samu rangeid kaitsemeetmeid, mida rakendame kõigi tipptasemel mudelite hindamisel, sealhulgas seiret ja isoleerimist.

Iga probleemi puhul andsime eri agentide rühmadele probleemi kirjelduse erinevad variandid, hõlmates kõiki probleemi versioone. Navier–Stokesi probleemi puhul andsime eraldi agentide rühmadele versioonid „A“ ja „B“ (probleemi erijuhud, mille lahendamine annaks tõestuse) ning versioonid „C“ ja „D“ (mis annaksid ümberlükkamise).

Lisaks täielikele aastatuhande auhinnaprobleemidele palusime oma mitme agendiga süsteemil proovida lahendada hulka „lihtsamaid“ probleeme. Üks neist käsitles sarnast singulaarsuse teket Navier–Stokesi probleemi piirjuhul, millest oli eemaldatud viskoossusliige. Seda tuntakse Euleri võrrandite regulaarsusprobleemina ja meie agendid üllatasid meid selle küsimuse lahendamisega. Nad lahendasid küsimuse välise jõuta versiooni, kus vedelikule ei rakendata välist jõudu. Ligi 100 agenti töötasid umbes 50 tundi koos, et koostada meie Euleri regulaarsuse väite ümberlükkamine¹.

Pärast Euleri lahendi nägemist pidasime Navier–Stokesi probleemi kõige paljutõotavamaks. Seetõttu otsustasime suunata oma ressursid Navier–Stokesi probleemile. Selleks tõime agendid ära teiste aastatuhandeprobleemide juurest ja andsime neile Euleri lahenduse. Kui töö käigus sai kättesaadavaks meie sisemise mudeli edasi treenitud versioon, viisime agendid sellele mudelile üle.

Julgustasime eri agentide rühmi uurima mitmesuguseid lähenemisviise. Mõne aja pärast soodustasime agentide rühmade vahelist ideede levikut, kasutades Codexit iga rühma kõige kasulikumate tähelepanekute koondamiseks. Need jätkuviibad tuginesid agentide endi vahetulemustele. Navier–Stokesi lahenduse leidnud rühma suunati just sel viisil.

Agendid jõudsid lahenduseni laupäeval, 5. septembril, ligikaudu 88 tundi pärast esimeste agentide käivitamist. Leanis formaliseerimiseks ja kontrollimiseks kulus GPT‑6 Astra abil veel 17 tundi.

Kõigi proovitud probleemide peale saatsid agendid 4,9 miljonit sõnumit ja kasutasid umbes 300 miljardit väljundtokenit. Navier–Stokesi probleemi lahendamise käigus saatsid agendid 2,7 miljonit sõnumit ja kasutasid ligikaudu 130 miljardit väljundtokenit.

Alustasime tööd 1. septembril pärast kuulujuttu, mis, nagu hiljem mõistsime, puudutas Anthropicu töötajat Levent Alpöget ja NYU matemaatikaprofessorit Tristan Buckmasterit.² Kui meie projekt ja kontroll Leaniga olid 6. septembril lõpule jõudnud, võtsime nendega ühendust, sest kuulujutu põhjal uskusime, et ka neil on Navier–Stokesi lahendus. Pakkusime võimalust avaldada tulemused samal ajal ja tunnustada ühisavalduses nende prioriteeti. Siis saime teada, et nad olid Anthropicu sisemise mudeli abil lahendanud välise jõuga Euleri probleemi. Nende arutelude käigus pakkusime neile võimalust tutvuda kõigi meie kasutatud viipadega ja hiljem ka tõestusega. Tunnustame nende töö prioriteeti välise jõuga Euleri probleemi lahendamisel ja õnnitleme neid märkimisväärse matemaatilise saavutuse puhul.

Meie — ei teadlased ega agendid — ei näinud nende tööd ühelgi viisil enne selle avaldamist. Eelkõige ei kasutatud probleemi lahendamiseks mingeid konkreetseid kasutajaandmeid.

Uurimise järel kinnitasime, et Buckmasteri Codexi viibad kahe kuu jooksul enne 8. septembri 2026. aasta teadaannet ja artiklit ei saanud süsteemi mingil viisil mõjutada, sealhulgas treenimise kaudu. Selle tulemuse saavutamiseks kasutatud OpenAI sisemine mudel arendati varem eeltreenitud mudeli põhjal laiaulatusliku kinnistava õppimise teel. Ka meie tõestused erinevad märkimisväärselt. Euleri probleemi puhul tõestasid Alpöge ja Buckmaster tulemuse välise jõuga, OpenAI süsteem aga välise jõuta.

Avaldame selle tulemuse, et anda teada meie tehisintellektimudelite märkimisväärsest arengust. Me ei kavatse selle tulemuse eest aastatuhande auhinda taotleda.

Selle teetähiseni jõudmine nõudis matemaatikutelt ja tehisintellekti uurijatelt märkimisväärset tööd. See pole aga kulminatsioon, vaid hetkepilt tehisintellekti arengu hetkeseisust.

Usume, et oleme jõudnud tehisintellekti arengu järgmisse ajajärku⁠, ja tänased tulemused kinnitavad seda veelgi. Keskendume selle mudeli mõistmisele ja kasutame saadud teadmisi, et suunata edasist võimekuse arendamist ning valida selleks sobiv tempo. Üks meie põhieesmärke⁠ on luua juhitavaid, vastutavaid ja inimestega seotud tehisintellektisüsteeme. See võib nõuda teadlikumaid valikuid arengu tempo kohta, kui jätkame oma missiooni tagada, et AGI tooks kasu kogu inimkonnale.