የOpenAI ሞዴል በዲስትሪክት ጂኦሜትሪ ውስጥ ማዕከላዊ ግምትን ውድቅ አድርጓል

ለ80 ዓመታት ያህል፣ የሂሳብ ሊቃውንት አንድ ቀላል ጥያቄን አጥንተዋል፡- $n$ ነጥቦችን በፕላኑ ውስጥ ካስቀመጡ፣ ስንት ጥንድ ነጥቦች በትክክል ርቀት $1$ ሊሆኑ ይችላሉ?

ይህ በ1946 በPaul Erdős ለመጀመሪያ ጊዜ የቀረበው የፕላናር አሃድ ርቀት ችግር ነው። በኮምቢናቶሪያል ጂኦሜትሪ ውስጥ በጣም ከሚታወቁ ጥያቄዎች አንዱ ሲሆን፣ ለመግለጽ ቀላል ነገር ግን ለመፍታት በሚያስገርም ሁኔታ አስቸጋሪ ነው። በ2005 በBrass፣ Moser እና Pach የተጻፈው የገለልተኛ ጂኦሜትሪ የምርምር ችግሮች የተሰኘው መጽሐፍ፣ ይህን ችግር “በኮምቢናቶሪያል ጂኦሜትሪ ውስጥ ምናልባትም በጣም የታወቀው (እና ለማብራራት ቀላሉ) ችግር” ሲል ይጠሯል። በPrinceton ግንባር ቀደም የኮምቢናቶሪያል ባለሙያ የሆኑት Noga Alon ይህንን ችግር “ከErdős ተወዳጅ ችግሮች አንዱ” ሲሉ ይገልጹታል። Erdős ይህን ችግር ለመፍታት የገንዘብ ሽልማት ጭምር አበርክቶ ነበር።

ዛሬ፣ በአሃድ ርቀት ችግር ላይ አንድ ግኝት እናጋራለን። ከErdős የመጀመሪያ ሥራ ጀምሮ፣ በስፋት የሚታየው እምነት ከዚህ በታች የሚታዩት “ካሬ ፍርግርግ” ግንባታዎች የአሃድ-ርቀት ጥንዶችን ቁጥር ከፍ ለማድረግ በመሠረቱ ተስማሚ ናቸው የሚል ነው። ውስጣዊ የOpenAI ሞዴል ይህንን ረጅም ጊዜ የቆየ ግምት ውድቅ አድርጎታል፣ ይህም ፖሊኖሚያል ማሻሻያ የሚያስገኙ ማለቂያ የሌላቸው የምሳሌዎች ቤተሰብን ይሰጣል። ማረጋገጫው በውጭ የሂሳብ ሊቃውንት ቡድን ተፈትሿል። እንዲሁም ክርክሩን የሚያብራራ እና የውጤቱን ጠቀሜታ የበለጠ ዳራ እና አውድ የሚያቀርብ ተጓዳኝ ጽሑፍ ጽፈዋል።

ውጤቱ እንዴት እንደተገኘም የሚያስደንቅ ነው። ማስረጃው የመጣው ለሂሳብ በተለይ ከሰለጠነ፣ በማረጋገጫ ስልቶች ውስጥ ለመፈለግ ከተዋቀረ ወይም በተለይ በክፍል ርቀት ችግር ላይ ካነጣጠረ ስርዓት ሳይሆን ከአዲስ አጠቃላይ ዓላማ ያለው የማመዛዘን ሞዴል ነው። የተራቀቁ ሞዴሎች ለድንበር ምርምር አስተዋፅዖ ማድረግ ይችሉ እንደሆነ ለመፈተሽ በተደረገው ሰፊ ጥረት አካል፣ በErdős ችግሮች ስብስብ ላይ ገምግመነዋል። በዚህ ሁኔታ፣ ክፍት የሆነውን ችግር ለመፍታት የሚያስችል ማስረጃ አቅርቧል።

ይህ ማረጋገጫ ለሂሳብና ለAI ማህበረሰቦች አስፈላጊ ወሳኝ ምዕራፍ ነው። ይህ በሂሳብ ንዑስ መስክ ማዕከላዊ የሆነ ግልጽ የሆነ ክፍት ችግር በ AI በራስ-ሰር የተፈታበት የመጀመሪያ ጊዜ ነው። እንዲሁም እነዚህ ስርዓቶች አሁን የሚደግፉትን የአስተሳሰብ ጥልቀት ያሳያል። ሂሳብ ለማመዛዘን በተለይ ግልጽ የሙከራ መድረክ ይሰጣል፦ ችግሮቹ ትክክለኛ ናቸው፣ ሊሆኑ የሚችሉ ማረጋገጫዎች ሊፈተሹ ይችላሉ፣ እና ረጅም ክርክር የሚሰራው ማመዛዘኑ ከመጀመሪያ እስከ መጨረሻ ተያይዞ ከቆየ ብቻ ነው። ችግሩ የተፈታበት ዘዴም እንዲሁ የሚያስደንቅ ነው። ማስረጃው ከአልጀብራ የቁጥር ንድፈ ሐሳብ ያልተጠበቁ እና የተራቀቁ ሀሳቦችን ወደ አንደኛ ደረጃ የጂኦሜትሪክ ጥያቄ ያመጣል።

የFields ሜዳሊስት Tim Gowers በተጓዳኝ ወረቀቱ ላይ ሲጽፍ፣ ውጤቱን “በAI ሂሳብ ውስጥ ወሳኝ ምዕራፍ” ብሎ ይጠራዋል። እንደ ታዋቂው የቁጥር ንድፈ ሐሳብ ሊቅ Arul Shankar አባባል፣ “በእኔ አስተያየት ይህ ወረቀት የአሁኑ የAI ሞዴሎች ለሰው የሂሳብ ሊቃውንት ረዳቶች ብቻ እንዳልሆኑ ያሳያል – ኦሪጅናል ብልሃተኛ ሀሳቦች ሊኖራቸው እና ከዚያም እስከ ፍጻሜ ሊያደርሷቸው ይችላሉ”።

ማረጋገጫው እዚህ⁠(በአዲስ መስኮት ውስጥ ይክፈታል) ይገኛል። በዋና የውቪ የሒሳብ ሊቃውንት የተዘጋጀው ተጓዳኝ ጽሑፍ እዚህ⁠(በአዲስ መስኮት ውስጥ ይክፈታል) ይገኛል። የኤ.አይ ሞዴሉን ተከታታይ ሀሳብ አጭር ስሪት እዚህ⁠(በአዲስ መስኮት ውስጥ ይክፈታል) ማግኘት ይችላሉ።

$u(n)$ በጠለል ላይ ባሉ $n$ ነጥቦች መካከል ሊኖር የሚችል ከፍተኛው የአሃድ-ርቀት ጥንዶች ብዛት ይሁን። መስመራዊ ዕድገት መጠንን የሚያሳዩ ምሳሌዎችን መገንባት ቀላል ነው፦ $n$ ነጥቦችን በአንድ መስመር ላይ ማስቀመጥ $n-1$ ጥንዶችን የሚሰጥ ሲሆን፣ የካሬ ፍርግርግ ደግሞ ወደ $2n$ ገደማ ጥንዶችን ይሰጣል። ከዚህ ቀደም በጥሩነቱ የሚታወቀው እና ከመጠን በተቀነሰ የካሬ ፍርግርግ የተገኘው ግንባታ ከዚያ የበለጠ ውጤት የሚሰጥ ሆኗል፦ $n^{1 + C / \log \log(n)}$ ለኢተለዋዋጭ $C$። $\log \log(n)$ ከ$n$ ጋር ወደ ወሰን የሌለው ስለሚጠጋ፣ በኤክስፖነንቱ ላይ ያለው ተጨማሪ ቁጥር ወደ $0$ የሚጠጋ ሲሆን ይህም ማለት እነዚህ ግንባታዎች ከመስመራዊ ዕድገት ጥቂት ብቻ ፈጠን ያለ ዕድገት ያስመዘግባሉ ማለት ነው። ይህ የዕድገት መጠን ከሁሉ የተሻለው ሊሆን የሚችለው እንደሆነ እና የትኛውም ግንባታ ከካሬ ፍርግርግ በተሻለ ሁኔታ ጉልህ መሻሻል ሊያሳይ እንደማይችል ለብዙ አሥርት ዓመታት በሰፊው ይታመን ነበር። በቴክኒክ አገላለጽ፣ Erdős ከፍተኛ ወሰኑ $n^{1+o(1)}$ ይሆናል ብሎ ገምቶ የነበር ሲሆን በዚህ ውስጥ ተጨማሪው $o(1)$ ከ$n$ ጋር ወደ $0$ የሚጠጋን ቁጥር ያሳያል።

አዲሱ ውጤታችን ይህን ግምት ውድቅ ያደርጓል። የበለጠ ትክክለኛ በሆነ አገላለጽ፣ ላልተወሰኑ በርካታ የ$n$ እሴቶች፣ ማረጋገጫው ለተወሰነ ቋሚ ኤክስፖነንት $\delta > 0$ ቢያንስ $n^{1+\delta}$ የአሃድ-ርቀት ጥንዶች ያላቸውን የ$n$ ነጥቦች ውቅረቶች ይገነባል። (የመጀመሪያው የኤ.አይ ማረጋገጫ ግልጽ የሆነ $\delta$ የማይሰጥ ቢሆንም፣ የPrinceton ዩኒቨርሲቲ የሒሳብ ፕሮፌሰር በሆኑት Will Sawin አማካኝነት በቅርቡ የሚወጣው ማሻሻያ $\delta=0.014$ ተደርጎ ሊወሰድ እንደሚችል አሳይቷል።)

የችግሩ ታሪክ ውጤቱ ለምን አስገራሚ ሊሆን እንደቻለ ለመረዳት ያግዛል። ከ1946 የErdős የመጀመሪያ ግንባታ ጀምሮ፣ እስካሁን በሰፊው የሚታወቀው ዝቅተኛ ወሰን በተጨባጭ ምንም ለውጥ ሳይደረግበት ቆይቶ ነበር። ከሁሉ የተሻለው ከፍተኛ ወሰን $O(n^{4/3})$ የሚመነጨው በ1984 በSpencer፣ Szemerédi እና Trotter ከተከናወነ ሥራ ሲሆን፣ በኋላ ላይ በSzékely፣ Katz እና Silier፣ Pach፣ Raz፣ እና Solymosi እንዲሁም በሌሎች የተደረጉ ማሻሻያዎች እና ተያያዥ መዋቅራዊ ሥራዎች ቢኖሩም፣ ከፍተኛ ወሰኑ በተጨባጭ ምንም ለውጥ ሳይደረግበት ቆይቷል። ለግምቱ ደጋፊ ማስረጃ በመሆን፣ Matoušek እና Alon-Bucić-Sauermann ችግሩን በጠለሉ ላይ ካሉ ኢ-ዩክሊዳዊ ርቀቶች አንጻር ያጠኑት ሲሆን፣ “አብዛኛዎቹ” እነዚህ ኢ-ዩክሊዳዊ ርቀቶች በተወሰነ መልኩ ግምቱን እንደሚከተሉ አረጋግጠዋል።

የሚያስገርመው፣ የግንባታው ዋነኛ ግብዓቶች የመነጩት አልጄብራዊ የቁጥር ንድፈ-ሐሳብ ከሚባለው እና ፍጹም የተለየ ከነበረ የሒሳብ ክፍል ሲሆን ይህ የአልጄብራዊ ቁጥር መስኮች በመባል በሚታወቁት የድፍን ቁጥሮች ቅጥያዎች ውስጥ እንደ ቁጥሮችን ወደ ብዜታውያን መበተን ያሉ ጽንሰ-ሀሳቦችን ያጠናል።

በከፍተኛ ደረጃ ሲታይ፣ ማረጋገጫው በተለመደ የጂኦሜትሪ ሀሳብ ይጀምራል እና ወደ ያልተጠበቀ አቅጣጫ ይገፋዋል።

የErdős የመጀመሪያ የታችኛው ገደብ በGaussian integers በኩል ሊገባ ይችላል፦ በ$a+bi$ ቅርጽ ያሉ ቁጥሮች፣ እዚህ $a$ እና $b$ ኢንቲጀሮች ሲሆኑ $i$ ደግሞ የ$-1$ ስኩዌር ሩት ነው። Gaussian integers መደበኛ ኢንቲጀሮችን ያስፋፋሉ እና እንደ እነሱም ወደ ፕራይሞች ልዩ ፋክተር ማድረግ ያሉ ባህሪያትን ያገኛሉ። እንደዚህ ያሉ የመደበኛ ኢንቲጀሮች ወይም ራሽናሎች ስፋቶች አልጀብራዊ የቁጥር መስኮች ተብለው ይታወቃሉ። አዲሱ ክርክር Gaussian integers ን በአልጀብራዊ ቁጥር ንድፈ ሐሳብ ውስጥ ካሉ የበለጠ ውስብስብ አጠቃላዮች ይተካል፣ እነዚህም የበለጠ ሀብታም ሲምሜትሪዎች ስላሏቸው ብዙ ተጨማሪ የአሃድ-ርዝመት ልዩነቶችን ሊፈጥሩ ይችላሉ።

ትክክለኛው ክርክር ለክርክሩ የሚያስፈልጉት የቁጥር መስኮች በእውነት እንዳሉ ለማሳየት እንደ infinite class field towers እና Golod–Shafarevich theory ያሉ መሳሪያዎችን ይጠቀማል። እነዚህ ሀሳቦች ለአልጀብራዊ ቁጥር ንድፈ ሐሳብ ሊቃውንት በደንብ የታወቁ ነበሩ፣ ነገር ግን እነዚህ ጽንሰ ሐሳቦች በዩክሊዲያን ሜዳ ውስጥ ላሉ የጂኦሜትሪ ጥያቄዎች ተፅእኖ እንዳላቸው መገንዘብ ታላቅ አስገራሚ ነበር።

ይህ ውጤት በAI እና በሂሳብ መካከል ባለው ግንኙነት አስፈላጊ ጊዜን ያመለክታል፦ አንድ የAI ስርዓት በንቁ ዘርፍ ማዕከል ያለ የረጅም ጊዜ ክፍት ችግር በራሱ ፈትቷል። እንዲሁም በAI እና በሰው የሂሳብ ሊቃውንት መካከል ያለ አዲስ ዓይነት ትብብር ቀደምት እይታ ይሰጣል። በዚህ ጉዳይ፣ በውጭ የሂሳብ ሊቃውንት የተደረገው ተጓዳኝ ሥራ ከመጀመሪያው መፍትሔ ብቻ የበለጠ ሀብታም ምስል ያቀርባል።

Thomas Bloom በተጓዳኝ ማስታወሻው እንደሚጽፈው፦

“በAI የተፈጠረ ማረጋገጫ አስፈላጊነትና ተፅእኖ ስገመግም፣ ራሴን የምጠይቀው ጥያቄ ይህ ነው፦ ይህ ስለ ችግሩ አዲስ ነገር አስተምሮናልን? ዲስክሪት ጂኦሜትሪን አሁን የበለጠ እንረዳለንን? መልሱ የተመጠነ አዎ ነው ብዬ አስባለሁ፦ ይህ የቁጥር ንድፈ ሐሳብ ግንባታዎች ስለእነዚህ ዓይነት ጥያቄዎች ከጠረጠርነው በላይ ብዙ ነገር እንዳላቸው ያሳያል፤ ከዚህም በላይ፣ የሚያስፈልገው የቁጥር ንድፈ ሐሳብ በጣም ጥልቅ ሊሆን ይችላል። በሚመጡት ወራት ብዙ አልጀብራዊ የቁጥር ንድፈ ሐሳብ ሊቃውንት በዲስክሪት ጂኦሜትሪ ውስጥ ያሉ ሌሎች ክፍት ችግሮችን በቅርብ እንደሚመለከቱ ጥርጥር የለኝም።”

መፍትሔው ያሳየው በአልጀብራዊ ቁጥር ንድፈ ሐሳብ እና በዲስክሪት ጂኦሜትሪ መካከል ያለው ያልተጠበቀ ግንኙነት ውጤቱን የሚያስደንቅ ከሚያደርጉት ነገሮች አንዱ ነው። ይህ በተወሰነ ግምት ላይ ብቻ መደምደሚያ አያደርግም፣ ነገር ግን ለሂሳብ ሊቃውንት ተጨማሪ ተዛማጅ ችግሮችን ለመመርመር የሚጀምሩበት ድልድይ ሊሰጥ ይችላል።

Bloom ደግሞ ወደ ሰፊ እድል ይጠቁማል፦

“የእውቀት ድንበሮች በጣም ሹል ናቸው፣ እና በሚመጡት ወራትና ዓመታት በሌሎች ብዙ የሂሳብ ዘርፎች ውስጥ ተመሳሳይ ስኬቶች እንደሚታዩ ጥርጥር የለውም፣ እዚያም የረጅም ጊዜ ክፍት ችግሮች በAI ያልተጠበቁ ግንኙነቶችን በማሳየት እና ያለውን ቴክኒካዊ መሳሪያ እስከ ገደቡ በመግፋት ይፈታሉ። AI በዘመናት ውስጥ የገነባነውን የሂሳብ ካቴድራል የበለጠ ሙሉ በሙሉ እንድንመረምር እየረዳን ነው፤ ሌሎች ያልታዩ ድንቆች ምን እየጠበቁ ነው?”

ይህ ውጤት ተስፋ ሰጪ ምሳሌ ይሰጣል፡- AI መፍትሄ ብቻ ሳይሆን፣ የሰው ልጅ ግንዛቤን ተከትሎ ጠቀሜታው የበለጠ ግልጽ እና የበለፀገ የሂሳብ ግኝት አስተዋጽኦ ያደርጋል።

የሚወሰደው ትምህርት ከዚህ የተለየ ውጤት የበለጠ ትልቅ ነው። የተሻለ የሂሳብ ማመዛዘን AI ን የበለጠ ጠንካራ የምርምር አጋር ሊያደርገው ይችላል፦ አስቸጋሪ የሐሳብ መስመሮችን አንድ ላይ የሚያቆይ፣ ከርቀት የተለዩ የእውቀት መስኮች መካከል ሀሳቦችን የሚያገናኝ፣ ባለሙያዎች ምናልባት ቅድሚያ ያልሰጧቸውን ተስፋ ሰጪ መንገዶች የሚያሳይ፣ እና ተመራማሪዎች ካልሆነ በስተቀር በጣም ውስብስብ ወይም ጊዜ የሚወስዱ ችግሮች ላይ እድገት እንዲያደርጉ የሚረዳ።

እነዚህ ችሎታዎች ከሂሳብ በላይም አስፈላጊ ናቸው። አንድ ሞዴል ውስብስብ ክርክርን ተያይዞ ማቆየት፣ ከርቀት የተለዩ የእውቀት መስኮች መካከል ሀሳቦችን ማገናኘት፣ እና የባለሙያ ምርመራን የሚቋቋም ሥራ ማመንጨት ከቻለ፣ እነዚህ በባዮሎጂ፣ በፊዚክስ፣ በቁሳቁስ ሳይንስ፣ በምህንድስና እና በሕክምናም ጠቃሚ ችሎታዎች ናቸው፣ እና ወደ የበለጠ አውቶማቲክ ምርምር የምንሄድበት የረጅም ጊዜ መንገዳችን አካል ናቸው፦ ሳይንቲስቶችንና መሐንዲሶችን ተጨማሪ ሀሳቦችን እንዲመረምሩ እና የበለጠ አስቸጋሪ ቴክኒካዊ ጥያቄዎችን እንዲከታተሉ የሚረዱ ስርዓቶች።

AI በምርምር ውስጥ በፈጠራ ክፍሎች ላይ፣ እና ከሁሉ በላይ በAI ምርምር ራሱ ውስጥ፣ በጣም ከባድ ሚና ሊወስድ ነው። ይህ እድገት ያልተጠበቀ ባይሆንም፣ ይህን ቀጣይ የAI ልማት ደረጃ፣ በጣም ብልህ ስርዓቶችን ከሰው እሴቶች ጋር ማስማማት ያለውን ፈተና፣ እና የሰው-AI ትብብር ወደፊት ምን እንደሚመስል ለመረዳት የምንሰማውን አስቸኳይነት ያጠናክራል።

ያ የወደፊት ዕጣ ፈንታ አሁንም በሰው ልጅ ፍርድ ላይ የተመሰረተ ነው። ሙያዊ እውቀት ዋጋው ይጨምራል እንጂ አይቀንስም። AI መፈለግ፣ ጥቆማ መስጠት እና ማረጋገጥ ላይ ሊረዳ ይችላል። ሰዎች አስፈላጊ የሆኑትን ችግሮች ይመርጣሉ፣ ውጤቶቹን ይተረጉማሉ፣ እና ቀጥሎ ምን ጥያቄዎች እንደሚጠይቁ ይወስናሉ።